Équations différentielles — de l'ODE à l'EDP
Du fini vers le continu par discrétisation spatiale
On part d'un objet entièrement fini : N masses ponctuelles alignées, reliées à leurs voisines par des ressorts identiques, les deux extrémités étant fixées à un mur. Sa dynamique est une simple équation différentielle ordinaire dans ℝN, pilotée par une matrice tridiagonale. En affinant le maillage — N → ∞, pas h → 0, tout en gardant fixées la longueur, la tension et la masse totales — cette matrice se met à ressembler de plus en plus à un objet d'une autre nature : un opérateur différentiel agissant sur des fonctions. La limite de l'équation différentielle discrète est l'équation aux dérivées partielles de d'Alembert. Les cinq planches ci-dessous suivent ce trajet et le vérifient numériquement à chaque étape.
N masses de bord fixé, reliées par des ressorts identiques ; l'écart à l'équilibre de chaque masse évolue selon une seule équation matricielle.
La masse i ne « sent » que ses deux voisines : force = (T₀⁄h)[(yi+1−yi) − (yi−yi−1)] = (T₀⁄h)(yi+1 − 2yi + yi−1). Empilées pour i = 1…N (avec y₀ = yN+1 = 0 aux murs), ces N équations scalaires se lisent comme une seule équation vectorielle : c'est le passage « système d'équations » → « une équation, en dimension N », la même bascule qui, plus loin, mènera de l'EDO à l'EDP.
Valeurs propres et vecteurs propres de A : les modes propres de vibration de la chaîne finie.
Chaque mode oscille seul, à sa fréquence propre ωk = ω₀√λk : c'est une solution où toutes les masses passent par zéro en même temps. Les valeurs propres numériques sortent d'une diagonalisation de Jacobi de la matrice A elle-même ; la formule fermée n'intervient qu'en contrôle.
spectre {λ1,…,λN} — le mode choisi en surbrillance
Développement de Taylor : pourquoi (u(x+h) − 2u(x) + u(x−h)) / h² tend vers u″(x), et à quelle vitesse.
C'est exactement ce quotient — divisé par h², pas par h — qui apparaît dans la force ressentie par la masse i (planche 1). Le remplacer par u″(x) est licite seulement à la limite h → 0 ; à h fini, l'erreur commise vaut (h²/12)u⁗(x), un contrôle direct sur la qualité de l'approximation « matrice ≈ opérateur ».
erreur |quotient − u″| en fonction de h (log-log) ; pente de référence 2 en pointillé
ω(κ) = (2c/h)·|sin(κh/2)| pour la chaîne, ω(κ) = cκ pour la corde continue : la même courbe, aplatie près de κ=0.
Pour les grandes longueurs d'onde (κ petit, à N fixé) les deux courbes se confondent : c'est la partie « physique » du spectre, celle qui survit à la limite continue. Près du bord de zone (κ → π/h, la plus petite longueur d'onde représentable sur le maillage), la chaîne discrète s'écarte fortement de la droite : c'est une dispersion purement due au maillage, invisible pour l'équation d'onde continue.
Même pincement initial, propagé d'un côté par les N équations différentielles couplées, de l'autre par la formule ½[f(x−ct)+f(x+ct)] : superposés en direct, avec l'écart mesuré et sa loi de convergence.
f̃ est le prolongement impair et 2L-périodique du pincement initial f (méthode des images, imposée par les murs fixes u(0,t)=u(L,t)=0). La somme modale de la chaîne est calculée exactement — sans intégration numérique en temps — via ses propres modes propres (planche 2) ; elle est comparée point par point à cette solution continue.
écart max (sur x∈[0,L], t∈[0,0,4]) en fonction de N — précalculé — avec pente de référence −2 ; le point rouge suit le curseur N. Même exposant qu'en planche 3 : c'est le même reste de Taylor qui gouverne les deux convergences.