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Les équations aux dérivées partielles

Quand l'inconnue n'est plus un état fait de quelques nombres mais un champ tout entier : une température le long d'une barre, une vibration le long d'une corde.

Une équation différentielle ordinaire suit un état X(t) de ℝⁿ au fil du temps. Une équation aux dérivées partielles fait intervenir au moins deux variables indépendantes, par exemple le temps t et la position x. L'inconnue u(x, t) est un champ, et l'équation relie ses dérivées par rapport à chacune des variables. L'exemple de toute cette page est l'équation de la chaleur sur une barre de longueur 1, dont les deux bouts sont maintenus à la température 0 :

∂u/∂t = ∂²u/∂x² , u(0, t) = u(1, t) = 0 , u(x, 0) = f(x)

Le même regard que pour les EDO s'applique, à un changement près, qui est considérable. L'état à l'instant t n'est plus un vecteur de n nombres, c'est une fonction entière x ↦ u(x, t) : un point d'un espace de dimension infinie. On peut encore écrire l'équation sous la forme d'une EDO, u′ = A u, mais A = ∂²/∂x² n'est plus une matrice : c'est un opérateur différentiel, et il est non borné.

Ce qui change en passant à la dimension infinie. En dimension finie, une matrice a un nombre fini de valeurs propres et une norme finie. L'opérateur ∂²/∂x² avec ces conditions aux bords possède une infinité de fonctions propres, sin(kπx), qui forment une base hilbertienne de l'espace des fonctions de carré intégrable ; ses valeurs propres −k²π² tendent vers −∞. Il n'existe donc aucune constante L qui le borne, et plusieurs certitudes du monde des EDO tombent : le temps ne se remonte plus.

En pratique, on ramène toujours une EDP à des EDO, de deux façons que les planches 3 et 4 mettent côte à côte. Soit on la projette sur la base des modes propres, ce qui donne une infinité dénombrable d'EDO indépendantes (méthode de Fourier). Soit on discrétise l'espace en N points, ce qui donne un grand système de N EDO couplées (méthode des lignes). Tout est calculé dans la page ; chaque fois qu'une formule exacte existe, elle sert de contrôle.

Planche 1Un champ qui évolue : diffusion contre propagation

La même barre, le même profil de départ, deux équations qui ne diffèrent que par l'ordre de la dérivée en temps. L'équation de la chaleur ∂u/∂t = ∂²u/∂x² est dite parabolique ; l'équation des ondes ∂²u/∂t² = ∂²u/∂x² (corde lâchée sans vitesse) est dite hyperbolique. Le troisième grand type, elliptique, est celui de l'équation de Laplace ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0 : il décrit des équilibres, sans temps du tout.

Le profil u(x, t) à l'instant t ; en gris, le profil de départ.

Carte espace-temps : x en abscisse, t vers le bas ; rouge positif, bleu négatif.

Équation Profil de départ temps t

La chaleur efface : un créneau aux bords verticaux devient lisse dès le premier instant, et la température maximale ne peut que baisser (principe du maximum). Elle a aussi une vitesse de propagation infinie : au point x = 0,1, loin du créneau, la température devient positive tout de suite, même si c'est d'une quantité infime. L'onde, au contraire, conserve la forme : les deux moitiés du créneau partent chacune de son côté, gardent leurs angles vifs, se réfléchissent aux bouts en changeant de signe, et le point x = 0,1 ne bouge pas avant l'instant exact t = 0,2 où le front l'atteint. Deux variables, deux comportements : c'est le type de l'équation qui décide.

Planche 2Des coordonnées pour une fonction : la base hilbertienne

Pour traiter une fonction comme un vecteur, il lui faut des coordonnées. Sur [0 ; 1], les fonctions φ_k(x) = √2 sin(kπx) jouent le rôle d'une base orthonormée, pour le produit scalaire ⟨f, g⟩ = ∫₀¹ f g dx. Toute fonction de carré intégrable s'écrit

f(x) = Σₖ bₖ sin(kπx) , bₖ = 2 ∫₀¹ f(x) sin(kπx) dx

Il faut en général une infinité de coordonnées, et la série ne converge pas point par point mais en moyenne quadratique. L'égalité de Parseval, ∫f² = ½ Σ b_k², est le théorème de Pythagore de cet espace de dimension infinie.

fonction fsomme des K premiers termes

Fonction nombre de termes K

|bₖ| pour k ≤ K|bₖ| au-delàdroite ajustée sur 10 ≤ k ≤ 100

La vitesse à laquelle les coefficients tombent mesure la régularité de la fonction. Un saut (créneau, dent de scie) donne des coefficients en 1/k, pente −1 ; un angle (triangle) en 1/k², pente −2 ; une parabole qui ne raccorde pas sa dérivée seconde aux bords, en 1/k³. La bosse infiniment dérivable n'a pas de pente : ses coefficients s'effondrent plus vite que toute puissance. Près d'un saut, la somme partielle déborde d'environ 9 % quel que soit K (phénomène de Gibbs), et pourtant l'erreur quadratique tend vers 0 : les deux notions de convergence ne se confondent plus en dimension infinie.

Planche 3La méthode de Fourier : une infinité d'EDO indépendantes

Injectons u(x, t) = Σ a_k(t) sin(kπx) dans l'équation de la chaleur. Comme ∂²/∂x² sin(kπx) = −k²π² sin(kπx), chaque mode est un vecteur propre, et l'EDP se découpe en une famille dénombrable d'EDO scalaires, sans aucun couplage :

aₖ′(t) = −k²π² aₖ(t) , aₖ(0) = bₖ ⟹ aₖ(t) = bₖ e^−k²π²t

C'est exactement la diagonalisation d'un système linéaire d'EDO, poursuivie jusqu'à l'infini. Chaque mode s'éteint à son propre rythme, et plus il oscille vite, plus il meurt vite.

log₁₀ |aₖ(t)| pour k = 1 à 40 ; en contour, la valeur de départ.

u(x, t) avec K modes (bleu) et avec 400 modes (rouge, pointillés).

Profil modes conservés K temps t

Au départ, un créneau réclame des centaines de modes ; au bout d'un centième de seconde, une dizaine suffit à 10⁻⁶ près, et le nombre nécessaire ne cesse de baisser. La chaleur est une machine à oublier les détails fins. L'envers de cette qualité se lit dans les valeurs propres : −k²π² devient −15 791 dès k = 40 et continue sans limite. C'est ce qu'on appelle un opérateur non borné, et un tel spectre rend toute intégration pas à pas délicate, comme le montre la planche suivante.

Planche 4La méthode des lignes : N EDO couplées

Deuxième façon de faire : on ne garde de la barre que N points intérieurs espacés de h = 1/(N + 1) et l'on remplace la dérivée seconde par le quotient (u_i−1 − 2u_i + u_i+1)/h². L'EDP devient un système de N EDO couplées, U′ = A_NU, où A_N est une matrice tridiagonale. On retrouve le monde des EDO, avec ses valeurs propres :

λⱼ = −(4/h²) sin²(jπh/2) , j = 1, …, N

Les plus petites approchent −j²π², les modes de la planche 3. La plus grande en valeur absolue vaut presque 4/h² : elle grandit sans limite quand on raffine, image discrète de l'opérateur non borné. Le système est dit raide. Un schéma d'Euler explicite multiplie chaque mode par 1 + Δtλ_j à chaque pas ; il faut que ce facteur reste entre −1 et 1 pour tous les modes, sinon le calcul explose.

Points : les N inconnues du système d'EDO. Trait rouge : solution exacte par la série de Fourier.

Facteur |G| appliqué à chaque mode à chaque pas, en fonction de Δt·λⱼ.

Schéma Profil points N r = Δt/h²

Faites passer r au-dessus de 0,5 en Euler explicite : le mode le plus rapide, en dents de scie, sort de la bande |G| ≤ 1 et envahit la barre en quelques dizaines de pas, alors qu'il ne représente rien de physique. La condition de stabilité Δt ≤ h²/2 impose des pas minuscules : doubler N oblige à diviser le pas de temps par quatre. Les schémas implicites résolvent à chaque pas un système tridiagonal et restent stables quel que soit Δt ; ils payent ce confort par un peu de calcul à chaque pas. Crank-Nicolson, le plus précis, amortit de moins en moins les modes raides quand r grandit (son facteur tend vers −1) : avec un créneau, il laisse alors de petites oscillations parasites. L'erreur, elle, décroît comme h² pour un profil sans saut : la méthode des lignes converge vers la vraie EDP quand N → ∞. Avec le créneau, l'ordre mesuré tombe à 1, car la position d'un saut n'est connue qu'à un demi-pas près.

Planche 5 — signatureLa chaleur ne se remonte pas

Pour une EDO, la planche du flot montrait que l'on peut toujours remonter le temps. Tentons-le ici. On part d'un profil f, on le laisse diffuser jusqu'à l'instant T, on mesure le résultat avec une erreur minuscule η sur chaque coefficient, puis on cherche à retrouver f. En théorie, il suffit de multiplier chaque coefficient mesuré par e^k²π²T. En pratique, ce facteur grandit si vite avec k que le bruit du mode 30, invisible à la mesure, est multiplié par des nombres astronomiques.

Hadamard appelle bien posé un problème dont la solution existe, est unique et dépend continûment des données. L'équation de la chaleur vers l'avant l'est. Vers l'arrière, la continuité est perdue : c'est un problème mal posé, et l'on ne peut qu'en obtenir une approximation, en renonçant aux modes que le bruit a noyés.

vrai profil de départ fmesure au temps Tremontée avec K modesremontée naïve avec 100 modes

Profil durée T bruit η = 10^−p, p modes gardés K

erreur quadratique ‖f − reconstruction‖ selon KK choisimeilleur K

La courbe d'erreur a la forme d'une cuvette. Trop peu de modes : on perd les détails de f. Trop de modes : on amplifie le bruit, et l'erreur s'envole comme e^K²π²T. Le meilleur K tombe juste avant le mode dont le signal e^−k²π²T|bₖ| passe sous le bruit η : au-delà, l'information a été effacée par la diffusion, pas seulement cachée. Diviser le bruit par un million ne rapporte qu'une dizaine de modes de plus (de 24 à 35 pour la bosse). En dimension finie, avec N points, le pire facteur d'amplification vaut e^4(N+1)²T : énorme, mais fini. C'est le passage à la dimension infinie, avec son opérateur non borné, qui rend l'inversion impossible, et c'est pourquoi le déterminisme des EDP a une flèche du temps.

Ce qu'il faut retenir

Équation aux dérivées partielles: Relation entre un champ u(x, t) et ses dérivées par rapport à plusieurs variables. Il faut une condition initiale, qui est une fonction entière, et des conditions aux bords.
Trois types: Parabolique (chaleur : lisse et amortit, vitesse infinie), hyperbolique (ondes : transporte, conserve les singularités, vitesse finie), elliptique (Laplace : équilibres sans temps).
Dimension infinie: L'état est une fonction, repérée par une infinité de coordonnées dans une base hilbertienne ; Parseval y remplace Pythagore. La décroissance des coordonnées traduit la régularité.
Opérateur non borné et théorie spectrale: ∂²/∂x² a pour vecteurs propres sin(kπx) et pour valeurs propres −k²π², qui ne sont bornées par aucune constante : c'est la différence essentielle avec une matrice.
Méthode de Fourier: Projeter sur les modes propres transforme l'EDP en une infinité d'EDO scalaires découplées, résolues une à une.
Méthode des lignes: Discrétiser l'espace transforme l'EDP en N EDO couplées, raides, qui convergent vers l'EDP quand N → ∞ ; les schémas explicites exigent Δt ≤ h²/2.
Problème bien ou mal posé: La chaleur vers l'avant est bien posée ; vers l'arrière elle ne l'est pas, car la solution ne dépend plus continûment des données.