Les entiers de Gauss
Les nombres complexes a + bi dont les deux coordonnées sont entières forment un quadrillage du plan, noté ℤ[i]. On peut y additionner, multiplier, faire des divisions euclidiennes et décomposer en facteurs premiers, exactement comme dans ℤ. Mais les nombres premiers n'y sont pas les mêmes : 5 = (2 + i)(2 − i) n'est plus premier, alors que 3 le reste. Cette arithmétique explique enfin quels entiers sont sommes de deux carrés. Cinq planches pour la découvrir, jusqu'aux anneaux où la factorisation cesse d'être unique.
Vue d'ensemble
Gauss introduit ces nombres en 1832 pour étudier les résidus biquadratiques (les puissances quatrièmes modulo p). Tout repose sur la norme N(a + bi) = a² + b², le carré de la distance à l'origine, qui est multiplicative : N(zw) = N(z)·N(w). Elle transporte les questions de ℤ[i] vers ℤ, et réciproquement.
| Dans ℤ | Dans ℤ[i] |
|---|---|
| deux unités : 1 et −1 | quatre unités : 1, i, −1, −i (les éléments de norme 1) |
| division euclidienne avec 0 ≤ r < |b| | division euclidienne avec N(r) ≤ N(b)/2 |
| nombres premiers 2, 3, 5, 7, 11, 13… | 1 + i ; les p ≡ 3 (mod 4) comme 3, 7, 11 ; les facteurs a ± bi des p ≡ 1 (mod 4), comme 2 ± i |
| décomposition unique en facteurs premiers | décomposition unique, aux unités près |
| p ≡ 1 (mod 4) est somme de deux carrés (Fermat) | parce que p = (a + bi)(a − bi) = a² + b² |
Un quadrillage qui se multiplie
Multiplier par z, c'est tourner de l'argument de z et dilater par son module.
Avec z = a + bi et w = c + di, on a zw = (ac − bd) + (ad + bc)i : le produit reste dans le quadrillage. Géométriquement, les angles s'ajoutent et les longueurs se multiplient, donc les normes aussi : N(zw) = N(z)·N(w). Les multiples de z forment un nouveau quadrillage, tourné et agrandi, construit sur z et iz. Chaque petit carré de ce quadrillage a pour aire N(z) : il y a donc exactement N(z) classes de restes modulo z, comme il y a n classes de restes modulo n dans ℤ.
Division euclidienne et PGCD
Arrondir le quotient complexe donne un reste toujours plus petit que le diviseur.
Pour diviser a par b, on calcule le quotient complexe a/b et on arrondit ses deux coordonnées à l'entier le plus proche : cela donne q, puis r = a − bq. Géométriquement, bq est le multiple de b le plus proche de a. Dans un carré du quadrillage des multiples, aucun point n'est à plus d'une demi-diagonale d'un sommet, donc N(r) ≤ N(b)/2. Les restes diminuent strictement, l'algorithme d'Euclide s'arrête, et le dernier reste non nul est un PGCD. On obtient aussi une relation de Bézout ua + vb = pgcd.
Les premiers de Gauss
Un nombre premier de ℤ reste premier, se décompose, ou devient un carré.
Un entier de Gauss est premier s'il n'a pas d'autres diviseurs que les unités et ses associés. Gauss les a tous décrits. 2 = −i(1 + i)² est, à une unité près, le carré du premier 1 + i. Un premier p ≡ 3 (mod 4) reste premier, car il n'est pas somme de deux carrés. Un premier p ≡ 1 (mod 4) se décompose en p = (a + bi)(a − bi). Pour trouver a + bi sans essais, on prend x avec x² ≡ −1 (mod p), qui existe d'après la planche sur les résidus quadratiques. Alors p divise x² + 1 = (x + i)(x − i) sans diviser aucun des deux facteurs : le PGCD de p et x + i, calculé par Euclide, est le facteur cherché.
Sommes de deux carrés : la réponse de Gauss
Écrire n = x² + y², c'est trouver les entiers de Gauss de norme n.
Comme n = x² + y² = (x + iy)(x − iy), il suffit de décomposer n dans ℤ[i] et de répartir les facteurs entre x + iy et son conjugué. Chaque premier p ≡ 1 (mod 4) d'exposant e donne e + 1 façons de répartir πeπ̄e ; chaque premier q ≡ 3 (mod 4) doit avoir un exposant pair, sinon il n'y a aucune solution ; le facteur 2 ne change rien. On retrouve ainsi, en la comprenant, la formule du nombre de solutions : 4 × produit des (e + 1). L'identité de Brahmagupta, (a² + b²)(c² + d²) = (ac − bd)² + (ad + bc)², n'est que la multiplicativité de la norme.
Signature : le fossé de Gauss, les entiers d'Eisenstein, la factorisation perdue
Une question ouverte, un réseau voisin et un anneau où tout se dérègle.
En 1962, Basil Gordon demande si l'on peut partir de l'origine et marcher jusqu'à l'infini en ne posant le pied que sur des premiers de Gauss, avec des pas de longueur bornée. Si les pas sont trop courts, on finit bloqué par un « fossé » sans nombre premier. La page explore la composante atteinte depuis 1 + i, dans une fenêtre de côté 600. Avec des pas plus longs, on va beaucoup plus loin. Gethner, Wagon et Wick ont prouvé en 1998 qu'avec des pas de longueur √26 on reste prisonnier. La question générale est toujours ouverte, alors que la réponse est connue dans ℤ : les écarts entre nombres premiers ne sont pas bornés, donc on y est toujours bloqué.
Avec ω = (−1 + i√3)/2, racine cubique de l'unité, les nombres a + bω forment un réseau de triangles équilatéraux, ℤ[ω]. La norme vaut a² − ab + b² et il y a six unités (±1, ±ω, ±ω²). Là aussi, la division euclidienne existe et la factorisation est unique. Mais le partage des premiers suit maintenant les restes modulo 3 : 3 = −ω²(1 − ω)² est presque un carré, les p ≡ 2 (mod 3) restent premiers, et les p ≡ 1 (mod 3) se décomposent (7 = (3 + ω)(3 + ω̄), car 9 − 3 + 1 = 7). Eisenstein s'en sert en 1844 pour la loi de réciprocité cubique, et Euler, avant lui, pour le cas n = 3 du théorème de Fermat.
Dans ℤ[√−5] (les nombres a + b√−5, de norme a² + 5b²), il n'y a pas de division euclidienne, et l'unicité tombe : 6 = 2 × 3 = (1 + √−5)(1 − √−5). Les quatre facteurs sont irréductibles, car aucun élément n'a pour norme 2 ou 3 (a² + 5b² ne vaut jamais 2 ou 3). Ce phénomène a fait échouer en 1847 la démonstration du théorème de Fermat proposée par Lamé, qui supposait la factorisation unique dans des anneaux de ce type. Kummer, puis Dedekind (1871), l'ont réparé avec les idéaux : ici 2 = 𝔭², 3 = 𝔮𝔮′, 1 ± √−5 = 𝔭𝔮 ou 𝔭𝔮′, et la décomposition en idéaux premiers redevient unique.
Une brève histoire
En résumé
Un anneau euclidien
Arrondir le quotient donne N(r) ≤ N(b)/2 : Euclide, Bézout et la décomposition unique fonctionnent comme dans ℤ, à une unité près.
Trois destins
2 devient un carré, p ≡ 3 (mod 4) reste premier, p ≡ 1 (mod 4) se décompose en (a + bi)(a − bi), ce qui donne p = a² + b².
Une porte ouverte
Eisenstein fait de même avec ω ; dans ℤ[√−5] l'unicité échoue, et il faut les idéaux de Kummer et Dedekind : c'est la théorie algébrique des nombres.
Pour aller plus loin
Les neuf anneaux principaux imaginaires. Parmi les anneaux d'entiers de ℚ(√−d), seuls ceux pour d = 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163 ont la factorisation unique (Heegner 1952, puis Baker et Stark en 1966-1967). On retrouve 41 = (163 + 1)/4 dans le polynôme d'Euler n² + n + 41.
La loi de réciprocité biquadratique, but premier de Gauss, s'énonce dans ℤ[i] : elle relie les puissances quatrièmes modulo deux premiers de Gauss.
Liens. Résidus quadratiques et réciprocité, équations diophantiennes (sommes de carrés), théorie algébrique des nombres (idéaux de Kummer), corps finis (ℤ[i]/(3) est le corps à 9 éléments).