Les sous-ensembles et l'inclusion
On dit que A est inclus dans B, et l'on écrit A ⊆ B, quand tout élément de A est aussi un élément de B. C'est la relation la plus simple entre deux ensembles, et pourtant elle porte déjà beaucoup : la façon de démontrer que deux ensembles sont égaux, l'ordre entre les parties d'un ensemble, et même la première preuve qu'il existe des infinis de tailles différentes. Les planches qui suivent travaillent toutes sur un univers concret, les entiers de 1 à 24, puis sur les parties d'un petit ensemble, et chaque affirmation y est vérifiée élément par élément.
Vue d'ensemble
A ⊆ B se lit « A est inclus dans B », ou « A est une partie de B », ou encore « A est un sous-ensemble de B ». Pour le démontrer, on prend un élément x quelconque de A et l'on prouve que x est dans B. Pour le réfuter, il suffit d'un seul contre-exemple : un élément de A qui n'est pas dans B. Il ne faut pas confondre l'appartenance (∈), qui relie un élément à un ensemble, et l'inclusion (⊆), qui relie deux ensembles : 2 ∈ {1, 2, 3}, mais {2} ⊆ {1, 2, 3}.
| Écriture | Se lit | Signifie |
|---|---|---|
| A ⊆ B | A est inclus dans B | pour tout x, si x ∈ A alors x ∈ B |
| A ⊊ B | A est strictement inclus dans B | A ⊆ B et A ≠ B : au moins un élément de B manque à A |
| A ⊄ B | A n'est pas inclus dans B | il existe x ∈ A tel que x ∉ B |
| ∅ ⊆ A | l'ensemble vide est inclus dans tout ensemble | ∅ n'a aucun élément, donc aucun contre-exemple |
| A ⊆ A | tout ensemble est inclus dans lui-même | l'inclusion est réflexive |
| A = B | A égale B | A ⊆ B et B ⊆ A (double inclusion) |
Inclus, sécants, disjoints, confondus
Deux parties d'un même ensemble peuvent occuper quatre positions l'une par rapport à l'autre.
Prenons deux parties A et B de E = {1, …, 24}, chacune définie par une règle. Selon les éléments qu'elles partagent, A peut être incluse dans B, les deux peuvent être sécantes (elles ont des éléments communs, mais chacune possède des éléments que l'autre n'a pas), disjointes (aucun élément commun) ou confondues (exactement les mêmes éléments). Le dessin place les deux patates selon la relation réelle, calculée sur les 24 éléments. Le bouton « Tester A ⊆ B » parcourt les éléments de A un à un et entoure en rouge ceux qui ne sont pas dans B : un seul suffit pour que l'inclusion soit fausse.
Inclusion stricte et chaînes d'inclusions
De ∅ à B, on peut monter marche par marche en ajoutant un élément à la fois.
A ⊊ B signifie que A est inclus dans B sans lui être égal : il existe un témoin, un élément de B qui n'est pas dans A. Prenons B = les nombres pairs de 1 à 24, qui en compte douze, et construisons l'escalier ∅ ⊊ A₁ ⊊ A₂ ⊊ … ⊊ A₁₂ = B en ajoutant un élément de B à chaque marche. Chaque marche est une inclusion stricte, et le témoin est l'élément ajouté. L'inclusion est réflexive (A ⊆ A), antisymétrique (A ⊆ B et B ⊆ A donnent A = B) et transitive (A ⊆ B et B ⊆ C donnent A ⊆ C) : c'est une relation d'ordre. L'inclusion stricte, elle, n'est jamais réflexive : on n'a jamais A ⊊ A.
Démontrer une égalité par double inclusion
Pour prouver A = B, on prouve A ⊆ B, puis B ⊆ A.
Deux descriptions différentes peuvent définir le même ensemble. Pour le démontrer, on procède en deux temps : on montre que tout élément de A est dans B, puis que tout élément de B est dans A. Chacune des deux inclusions est un petit raisonnement. Par exemple, si n² est pair, alors n est pair, car le carré d'un impair est impair. Réciproquement, si n est pair, alors n² est pair. Choisissez un couple de descriptions : les deux colonnes sont mises en regard, et chaque sens est vérifié séparément. Le dernier couple est un piège : « premier » et « impair » se ressemblent, mais l'inclusion échoue dans les deux sens.
Les parties de A et le diagramme de Hasse
Toutes les parties d'un ensemble, rangées par inclusion.
L'ensemble des parties de A, noté P(A), contient ∅, les singletons, les paires… jusqu'à A lui-même. Si A a n éléments, il y a 2n parties, car chaque élément est dedans ou dehors. On les range en étages selon leur nombre d'éléments, et l'on trace un trait entre deux parties quand on passe de l'une à l'autre en ajoutant un seul élément. C'est le diagramme de Hasse de l'inclusion, qui dessine un cube : un carré pour n = 2, un cube pour n = 3, un hypercube au-delà. X ⊆ Y se lit sur la figure : on peut monter de X à Y en suivant des traits. Cliquez sur une partie pour voir en bleu tout ce qu'elle contient et en orange tout ce qui la contient.
Signature : il y a plus de parties que d'éléments, et l'inclusion dessine Sierpiński
L'inclusion mène à l'infini, et à une fractale.
Peut-on associer à chaque élément x de E une partie f(x) de E, de sorte que toutes les parties de E soient atteintes ? Cantor (1891) montre que non, quel que soit E. Formons la partie D = {x ∈ E : x ∉ f(x)}, faite des éléments qui n'appartiennent pas à leur propre partie. Si l'on avait D = f(a) pour un certain a, alors a ∈ D signifierait a ∉ f(a) = D, ce qui est absurde. D n'est donc jamais atteinte. Pour un ensemble fini, c'est simplement 2n > n. Pour un ensemble infini, c'est une révolution : P(ℕ) est strictement plus gros que ℕ. La page tire une nouvelle application f toutes les 1,6 seconde, retire la diagonale et cherche D parmi les f(x).
Numérotons les parties de E = {1, …, n} de 0 à 2n − 1, par leur écriture binaire. Dessinons un damier de 2n × 2n cases : la case (X, Y) est noire quand X ⊆ Y. Il apparaît un triangle de Sierpiński, la même figure qui se reproduit à chaque échelle. Pour chaque élément, il y a trois possibilités compatibles avec X ⊆ Y : dans aucune des deux parties, dans Y seulement, ou dans les deux. Il y a donc 3n cases noires sur 4n. La proportion (3/4)n tend vers 0 : deux parties prises au hasard ne sont presque jamais incluses l'une dans l'autre.
Une brève histoire
En résumé
Inclure
A ⊆ B quand tout élément de A est dans B ; un seul contre-exemple suffit pour le réfuter. ∅ est inclus dans tout ensemble.
Ordonner
L'inclusion est réflexive, antisymétrique et transitive : c'est une relation d'ordre, dont le diagramme de Hasse de P(A) est un hypercube.
Prouver l'égalité
A = B se démontre par double inclusion : A ⊆ B, puis B ⊆ A. Chaque sens est un raisonnement à part.
Pour aller plus loin
Les notations. Selon les auteurs, A ⊂ B signifie l'inclusion large (comme ⊆ ici) ou l'inclusion stricte. La notation ⊆ / ⊊ évite toute ambiguïté.
Un ordre seulement partiel. Deux parties ne sont pas toujours comparables : ni {1} ⊆ {2} ni {2} ⊆ {1}. C'est ce qui distingue l'inclusion de l'ordre habituel des nombres.
Une partie, c'est une fonction. Une partie A de E est décrite par sa fonction indicatrice, qui vaut 1 sur A et 0 ailleurs. A ⊆ B équivaut alors à 𝟙A ⩽ 𝟙B en tout point : l'inclusion devient une inégalité entre fonctions.
Liens. Les fiches voisines : élément, appartenance, ensemble vide (I.3), l'ensemble des parties P(E) et les fonctions indicatrices (I.5), les opérations sur les ensembles (I.6), les relations binaires (I.9), les ensembles infinis (I.13).