Une patate, deux patates, trois patates : le dessin que John Venn publie en 1880 n'est pas une illustration, c'est un outil de calcul. Il découpe l'univers en 2n cases, chaque élément tombe dans une et une seule, et les problèmes d'effectifs se résolvent alors en remplissant les cases du centre vers l'extérieur. Cette page construit le découpage, apprend à le remplir, traite les problèmes à deux puis à trois ensembles — et finit par montrer pourquoi, à quatre ensembles, les cercles ne suffisent plus.
L'univers E est le rectangle. Chaque ensemble y trace une patate. Avec n ensembles, les frontières découpent le rectangle en 2n régions : une par réponse possible à la suite des questions « dans A ? dans B ? dans C ? ». Ici E = {1, 2, …, 24} et chaque jeton va se ranger dans sa région. Cliquez une région pour l'isoler.
Un élément ne peut pas être dans deux régions à la fois : son code (dans A ? dans B ? dans C ?) est une suite de trois réponses, et une suite de trois réponses désigne une seule case. C'est pourquoi la somme des effectifs des régions redonne exactement card E, sans double compte ni oubli : le diagramme est une partition de l'univers. Certaines régions peuvent être vides — le dessin en garde la place, et c'est justement ce qui permet de raisonner dessus. Essayez « n divise 24 » pour A et « n est un carré » pour B : aucun carré diviseur de 24 n’atteint 13, et la région centrale se vide sans que le dessin change.
À deux ensembles, tout problème d'effectifs tient dans quatre nombres. Donnez card E, card A, card B et card (A ∩ B) : les quatre régions s'en déduisent par soustraction. Le curseur d'intersection ne peut pas prendre n'importe quelle valeur — la bande verte indique les valeurs possibles.
La seule formule utile ici est card (A ∪ B) = card A + card B − card (A ∩ B). Additionner a et b revient à compter deux fois les éléments communs : la surestimation vaut exactement i, jamais autre chose. L'encadrement max(0, a + b − N) ⩽ i ⩽ min(a, b) n'est pas une précaution d'écriture : la borne de gauche dit que si A et B débordent ensemble l'univers, ils sont forcés de se recouvrir, la borne de droite dit qu'on ne peut pas partager plus que ce que le plus petit possède. Un énoncé qui viole cet encadrement est un énoncé faux, et le dessin le signale avant tout calcul.
Un énoncé donne les effectifs des ensembles et de leurs intersections. La marche à suivre est toujours la même : on écrit d'abord le centre, puis on redescend région par région en soustrayant ce qui est déjà placé. Avancez pas à pas.
Pourquoi commencer par le centre. card (A ∩ B) contient déjà les éléments des trois ensembles : pour obtenir la région « A et B mais pas C », il faut lui retirer le centre. Et card A contient à son tour les trois zones de recouvrement : la région « A seul » ne s'obtient qu'après elles. On descend donc par ordre décroissant de profondeur, et chaque valeur n'utilise que des valeurs déjà écrites. Le contrôle est fourni par la formule d'inclusion-exclusion, card (A ∪ B ∪ C) = card A + card B + card C − card (A∩B) − card (A∩C) − card (B∩C) + card (A∩B∩C) : elle recompte l'union par un tout autre chemin, et doit retomber sur la somme des sept régions. Une région négative n'est pas une erreur de calcul mais une donnée impossible : l'énoncé prétend qu'un ensemble contient moins d'éléments que ses propres intersections.
Une population de 150 personnes est fixée une fois pour toutes ; elle sert d'arbitre. Cochez les renseignements que l'énoncé fournit : la page résout le système des huit régions, annonce combien sont réellement déterminées, et donne pour les autres l'intervalle des valeurs compatibles. Toutes les formulations usuelles sont des équations linéaires sur les huit cases.
Deux leçons. D'abord, il existe des énoncés parfaitement cohérents et pourtant insuffisants : connaître card A, card B, card C, le nombre de gens qui pratiquent exactement deux activités et le nombre qui les pratiquent toutes les trois laisse six régions sur huit indéterminées — le rang du système tombe à 6 et il reste deux degrés de liberté. La somme des trois recouvrements est connue, leur répartition ne l'est pas. Ensuite, un système peut être de rang plein et néanmoins impossible : la résolution donne alors une région négative. Le rang mesure l'information, le signe mesure la cohérence, et il faut les deux.
Le dessin à trois cercles marche si bien qu'on le prolonge sans y penser. À quatre, il cesse d'être un diagramme de Venn : il manque des régions, et on peut dire lesquelles. La page balaie l'image pixel par pixel, relève tous les codes rencontrés et les compte.