Enlevez à la droite réelle ses distances, ses longueurs, ses nombres : il reste la liste des parties que vous avez décidé d'appeler ouvertes. C'est tout ce dont la topologie a besoin, et c'est déjà assez pour parler de voisinage, de limite, de continuité et de trou. Cette planche part des boules, arrive aux axiomes, et montre que la topologie n'est rien d'autre qu'un ensemble de parties d'un ensemble.
Une partie de ℝ est dite ouverte lorsque chacun de ses points y est au large : il reste de la place autour de lui, un intervalle entier encore contenu dans la partie. Déplacez le point et regardez le rayon disponible fondre à l'approche du bord.
Rien ne change quand on passe à deux dimensions : on remplace l'intervalle par le disque, et la définition tient telle quelle. Le bord d'un disque fermé est exactement l'endroit où aucune boule ne tient plus.
On retourne alors la définition : au lieu de déduire les ouverts d'une distance, on se donne directement la famille des ouverts. Une topologie sur X est une partie 𝒯 de 𝒫(X) telle que ∅ ∈ 𝒯 et X ∈ 𝒯, qu'une réunion quelconque d'éléments de 𝒯 est dans 𝒯, et qu'une intersection de deux éléments de 𝒯 y est aussi.
Cliquez des parties de X = {a, b, c, d} : la page ferme votre choix, c'est-à-dire ajoute le strict nécessaire pour obtenir une topologie.
L'axiome n'autorise que les intersections finies, et ce n'est pas une timidité de rédaction. Les intervalles ]−1/n ; 1/n[ sont tous ouverts ; leur intersection, prise sur tous les entiers, est {0}, qui ne l'est pas.
Trois opérations sur les parties, définies uniquement avec ∈, ⊆ et ∪ : l'intérieur est le plus grand ouvert contenu dans A, l'adhérence le plus petit fermé qui contient A, et la frontière ce qui sépare les deux. Aucun nombre n'intervient.
Le balayage colorie en bleu les points intérieurs, en rouge ceux de la frontière, et laisse en blanc l'extérieur. L'égalité ∂A = Ā ∖ A° se vérifie alors point par point.
Deux espaces sont homéomorphes lorsqu'une bijection continue dans les deux sens les échange : la topologie ne distingue plus le carré du cercle. Ce qui survit à toutes ces déformations s'appelle un invariant — et un invariant suffit à prouver que deux figures ne sont pas la même.
Retirez un point à une figure et comptez les morceaux qui restent. Le nombre obtenu ne dépend pas du dessin mais de la figure elle-même : aucun homéomorphisme ne peut relier deux figures qui ne donnent pas les mêmes comptes.
Élément signature. Partez d'une partie quelconque de ℝ et n'utilisez que deux opérations : passer au complémentaire, prendre l'adhérence. Vous les enchaînez comme vous voulez, aussi longtemps que vous voulez. Kuratowski a démontré en 1922 que vous n'obtiendrez jamais plus de quatorze ensembles distincts — et que quatorze est atteint.
On tire au hasard des parties de ℝ formées de sept morceaux, chacun vide, plein, réduit aux rationnels ou aux irrationnels, et l'on compte combien d'ensembles chacune engendre. La borne ne bouge pas.