Réunir, intersecter, complémenter : ces opérations restent à l'intérieur d'un même univers. Le produit cartésien fait tout autre chose — il fabrique un univers neuf, celui des couples (a, b), et c'est de lui que sortent le plan, les tableaux à double entrée, les relations, les fonctions et les listes à n cases. Cette page construit A × B case par case, l'installe dans le plan, éprouve ses règles de calcul sur toutes les combinaisons possibles, passe à n facteurs — et finit par montrer que le plan tout entier tient dans une droite.
A × B est l'ensemble des couples (a, b) où a parcourt A et b parcourt B. Un couple n'est pas une paire : l'ordre y compte, et (a, b) = (a′, b′) exige les deux égalités a = a′ et b = b′. Composez A et B en cliquant les éléments, le tableau se remplit.
Ce que le tableau rend visible. Le produit a exactement m lignes et n colonnes, donc m·n cases : c'est le principe multiplicatif, et le comptage des cases effectivement dessinées le confirme à chaque manipulation. Prendre B × A transpose le tableau : même nombre de cases, mais ce ne sont pas les mêmes objets, et les seuls couples communs aux deux sont ceux dont les deux coordonnées vivent dans A ∩ B — d'où la coïncidence, toujours exacte, entre card((A×B) ∩ (B×A)) et card(A ∩ B)². Le produit n'est donc pas commutatif, et il devient vide dès qu'un seul des deux facteurs l'est. Enfin, choisir une partie quelconque du tableau, c'est choisir une relation de A vers B — il y en a 2^(mn) — et n'en cocher qu'une par ligne, c'est choisir une application — il y en a nᵐ.
Descartes a fait du plan l'ensemble ℝ × ℝ : un point est un couple de nombres. Le produit de deux parties de la droite se lit alors directement comme une figure — des points alignés en grille si les facteurs sont finis, des pavés s'ils sont des intervalles. Et toutes les figures ne sont pas des produits.
Le produit se marie bien avec la réunion, l'intersection et la différence — mais pas n'importe comment. Chaque loi est ici testée sur toutes les combinaisons de parties de E = {1, 2, 3, 4, 5} : 32³ = 32 768 cas pour une loi à trois ensembles, 32⁴ = 1 048 576 pour une loi à quatre. Les deux damiers montrent les deux membres, les cases en désaccord sont barrées de rouge.
Lire les échecs. Une loi vraie l'est sur le million de cas, sans exception : c'est une démonstration, puisque l'énumération est complète. Les deux lois fausses de la liste le sont pour des raisons différentes et instructives. La réunion de deux pavés n'est presque jamais un pavé — (A×B) ∪ (C×D) reste toujours inclus dans (A∪C) × (B∪D), mais l'égalité réclame que les couples croisés A×D et C×B soient déjà là, ce qui n'arrive que dans un cas sur sept environ. Quant au complémentaire, ∁(A×B) n'est pas ∁A × ∁B : il suffit qu'un seul des deux facteurs manque pour sortir du produit, d'où la formule correcte en réunion de deux bandes. Le cas ∅ mérite enfin une mention : A × B ⊆ C × D n'entraîne A ⊆ C et B ⊆ D que si A × B est non vide, et c'est là toute la différence entre une équivalence et une implication.
A₁ × A₂ × … × Aₙ est l'ensemble des listes (a₁, a₂, …, aₙ) à n cases, la i-ième puisée dans Ai. Le cardinal est le produit des cardinaux, et l'énumération dans l'ordre du dictionnaire n'est rien d'autre qu'un compteur kilométrique dont les roues n'ont pas toutes le même nombre de crans.
Le compteur et la numération. Ranger les n-uplets dans l'ordre du dictionnaire revient à écrire le rang en base mixte : rang = a₁·(k₂k₃…kₙ) + a₂·(k₃…kₙ) + … + aₙ. Si tous les facteurs ont la même taille k, on retrouve l'écriture en base k, et card(Aⁿ) = kⁿ. La page vérifie à chaque réglage que ce rang est bien une bijection sur {0, 1, …, N−1} : tous les rangs distincts, aucun trou. Deux cas limites valent d'être essayés : un seul facteur réduit à zéro élément, et le produit entier s'effondre sur ∅, car on ne peut plus remplir la liste ; à l'inverse, le produit d'aucun facteur compte exactement un élément, la liste vide — c'est la convention qui rend la formule du produit cohérente, comme k⁰ = 1.
ℕ × ℕ semble bien plus vaste que ℕ, et ℝ × ℝ bien plus vaste que ℝ. C'est faux dans les deux cas, et de façon très explicite : on peut écrire les formules, et les vérifier.