Une probabilité est un triplet : un ensemble Ω, une famille 𝒜 de parties de Ω qu'on accepte de mesurer, et une fonction P qui donne à chacune un nombre entre 0 et 1. Tout le reste — conditionnement, indépendance, variables aléatoires, Bayes — se lit comme des opérations sur des parties et des applications. La planche finit sur un paradoxe qui montre que « au hasard » ne veut rien dire tant qu'on n'a pas choisi la mesure.
Kolmogorov, 1933. On se donne un ensemble Ω, puis une famille 𝒜 ⊆ 𝒫(Ω) contenant Ω, stable par complémentaire et par réunion : c'est une tribu, et ses éléments sont les événements. Cliquez des parties de Ω = { a, b, c, d } : la page ajoute le strict nécessaire.
La roue ci-dessous a douze secteurs d'angles inégaux : la probabilité d'un événement n'est pas le nombre de secteurs, c'est la somme de leurs angles. Seules comptent deux exigences : P(Ω) = 1, et l'additivité sur les parties disjointes. Tout le reste s'en déduit — y compris la formule du crible.
Savoir que B est réalisé ne modifie pas les événements : cela remplace Ω par B, et il faut alors diviser par P(B) pour que le nouvel univers pèse encore 1. Le carré ci-dessous montre l'opération en entier, sur l'exemple d'un test de dépistage.
Trois portes, une voiture. Vous choisissez, le présentateur ouvre une porte vide, vous pouvez changer. La discussion s'arrête dès qu'on écrit Ω : les neuf couples (porte gagnante, porte choisie), équiprobables. Changer gagne exactement lorsque le premier choix était mauvais.
Rien d'aléatoire dans une variable aléatoire : X est une application de Ω dans ℝ. Ce qui est aléatoire, c'est le point de Ω qu'on tire. La loi de X n'est rien d'autre que la mesure transportée : P(X = k) = P(X⁻¹({k})) — on regroupe les antécédents.
Élément signature. « On trace une corde au hasard dans un cercle : quelle est la probabilité qu'elle soit plus longue que le côté du triangle équilatéral inscrit ? » Trois façons également naturelles de tirer répondent 1/3, 1/2 et 1/4. L'ensemble des cordes est pourtant le même dans les trois cas : c'est la mesure qui change.
Une corde est déterminée par son milieu. Les trois méthodes ne répartissent pas ces milieux de la même façon dans le disque — et comme la corde est longue exactement quand son milieu est à moins d'un demi-rayon du centre, il suffit de regarder la densité des nuages pour comprendre les trois réponses.