« et » est une intersection, « ou » une réunion, « non » un complémentaire, « si… alors » une inclusion. Un quantificateur universel est une intersection infinie, un existentiel une réunion. L'ensemble des modèles d'un énoncé est une partie, et démontrer revient à inclure. Cette planche suit le dictionnaire jusqu'au bout, et finit par confronter la syntaxe — une démonstration mécanique — à la sémantique — un ensemble de modèles.
Une formule à trois variables, c'est huit lignes de table de vérité ; un diagramme à trois cercles, c'est huit régions. Les deux objets sont le même : cliquez une ligne ou une région, l'autre suit. Il y a donc exactement 2⁸ = 256 formules distinctes à trois variables, autant que de parties d'un ensemble à huit éléments.
Une relation R ⊆ A × B se dessine comme un tableau de cases. ∀x ∃y R(x,y) demande que chaque ligne contienne au moins une case cochée ; ∃y ∀x R(x,y) demande qu'une colonne soit entièrement cochée. Ce n'est pas la même chose, et l'ordre des quantificateurs est exactement ce qui les sépare.
À chaque formule Φ on associe Mod(Φ), l'ensemble de ses modèles — les affectations qui la rendent vraie. Alors Φ ⊨ Ψ, « Ψ se déduit de Φ », signifie exactement Mod(Φ) ⊆ Mod(Ψ). La conséquence logique est une inclusion, rien de plus.
« Tout homme est mortel, tout Grec est un homme, donc tout Grec est mortel. » Les quatre formes de propositions et les quatre figures donnent 256 syllogismes possibles. Les traduire en ensembles — tout S est P devient S ⊆ P, quelque S est P devient S ∩ P ≠ ∅ — permet de les éprouver tous, sur tous les univers à trois éléments.
Élément signature. Deux façons de savoir qu'un énoncé est impossible : la sémantique, qui passe en revue tous les modèles et n'en trouve aucun ; la syntaxe, qui manipule les symboles sans jamais penser à leur sens et aboutit à la clause vide. Le théorème de complétude affirme que les deux coïncident — et la page le vérifie sur des milliers de formules.