Le plan est ℝ × ℝ, un ensemble de couples ; une figure est une partie de cet ensemble ; une condition écrite sur un point découpe cette partie sans qu'on sache d'avance à quoi elle ressemblera. Mais la géométrie va plus loin que ce vocabulaire : depuis Klein, une géométrie est un groupe agissant sur un ensemble, et ce qu'elle étudie est ce que ce groupe laisse invariant. Cette planche va des lieux à Desargues, en vérifiant tout.
On écrit une phrase sur un point mobile M, et l'ensemble { M : … } existe aussitôt — avant même qu'on sache le dessiner. Le balayage ci-dessous ne fait que tester la phrase en chaque point : la forme n'est pas supposée, elle apparaît.
Klein, 1872 : se donner une géométrie, c'est se donner un ensemble et un groupe de transformations de cet ensemble ; les objets de la géométrie sont les propriétés que le groupe ne change pas. Plus le groupe est gros, moins il reste de propriétés — et plus les théorèmes sont généraux.
Rien n'oblige le plan à être infini. Une géométrie d'incidence, c'est un ensemble de points, un ensemble de droites, et une relation I ⊆ P × D qui dit quel point est sur quelle droite. Les axiomes ne parlent que de cette relation — et il existe des modèles à sept points, où tout se vérifie case par case.
Projetez quatre points alignés depuis un œil sur une autre droite : les longueurs changent, les rapports de longueurs aussi, les milieux se déplacent. Une seule combinaison survit, le birapport — et c'est elle qui fonde la géométrie projective et le dessin en perspective.
Élément signature. Deux théorèmes qui ne parlent ni de longueur ni d'angle, mais seulement d'alignement et d'intersection — c'est-à-dire de points et de droites vues comme des ensembles. Ils sont vrais quelle que soit la configuration, et la page le vérifie sur des centaines de milliers de tirages.
Trois points sur une droite, trois sur une autre, six segments croisés : les trois points de rencontre sont toujours alignés. C'est ce théorème, découvert vers l'an 320, qui est aujourd'hui l'axiome dont on déduit que le corps des coordonnées est commutatif.