« Un ensemble est une collection d'objets » — cette phrase, prise au pied de la lettre, se contredit en trois lignes. La réponse n'a pas été de renoncer aux ensembles, mais d'écrire précisément ce qu'on a le droit de fabriquer : ce sont les axiomes de Zermelo-Fraenkel. Cette planche construit des ensembles à partir de rien, éprouve les paradoxes par le calcul, et s'arrête sur le seul axiome dont on discute encore.
Si toute propriété définissait un ensemble, on pourrait former R = {x : x ∉ x}, l'ensemble des ensembles qui ne s'appartiennent pas. Le tableau ci-dessous est un petit univers : chaque ligne dit ce que l'ensemble contient. Cochez ce que vous voulez — la ligne de Russell, lue sur la diagonale, n'y figurera jamais.
On range les ensembles dans deux caisses : ceux qui s'appartiennent, ceux qui ne s'appartiennent pas. Tout se range sans peine, jusqu'à la fiche R elle-même, qui change de caisse chaque fois qu'on l'y dépose.
ZF ne donne aucun objet au départ, sinon l'ensemble vide. Chaque axiome est un outil qui fabrique un ensemble neuf à partir d'ensembles déjà obtenus. Cliquez deux fiches de l'atelier, puis un outil. Chaque ensemble est identifié par son code d'Ackermann, ce qui rend l'extensionnalité vérifiable : deux constructions différentes du même ensemble reçoivent le même code.
La parade de Zermelo tient en un mot : on ne forme plus {x : P(x)} mais {x ∈ a : P(x)}. On ne fabrique un ensemble qu'en découpant dans un ensemble déjà là. Russell cesse alors d'être une contradiction et devient un théorème.
L'axiome de fondation range l'univers en étages : V₀ = ∅, puis Vα+1 = 𝒫(Vα). Tout ensemble apparaît à un étage précis, son rang, et ne contient que des ensembles de rang inférieur. Aucune boucle x ∈ x n'est possible, aucune chaîne descendante infinie non plus.
Une famille de boîtes non vides étant donnée, peut-on prendre un objet dans chacune ? Pour un nombre fini de boîtes, les autres axiomes suffisent. Pour une infinité, cela dépend de la possibilité d'écrire une règle — et l'axiome du choix affirme qu'on peut se passer de règle.
Sur le cercle des réels modulo 1, translater par les rationnels découpe [0 ; 1[ en classes. En choisissant un représentant dans chaque classe — un choix sans règle — on obtient l'ensemble de Vitali : ses translatés rationnels pavent l'intervalle, tous de même longueur, et aucune valeur de cette longueur n'est possible.
Élément signature. Une suite d'entiers construite à la règle et au compas de l'écolier : on écrit le nombre en base b de façon complètement héréditaire, on remplace partout b par b+1, on retranche 1. Les valeurs explosent. La suite s'arrête pourtant toujours — et la démonstration passe obligatoirement par les ordinaux infinis.
À chaque étape, on lit la même écriture de deux façons : avec la base b, elle donne l'entier ; en remplaçant b par ω, elle donne un ordinal. Le changement de base ne modifie pas l'ordinal, et le « moins un » le fait strictement décroître. Or une suite d'ordinaux ne peut pas décroître indéfiniment : la suite d'entiers doit atteindre zéro.