La construction des nombres à partir des ensembles
En théorie des ensembles, on part d'un seul objet, l'ensemble vide ∅, et l'on fabrique tous les nombres. Chaque étape ajoute ce qui manquait à la précédente. ℤ permet de soustraire, ℚ de diviser, ℝ de passer à la limite, et ℂ de résoudre x² = −1. À chaque étape, le nouveau nombre est un ensemble précis : un ensemble d'entiers, une classe de couples ou une coupure. La page construit ces objets, calcule avec eux sans tricher et vérifie que les règles de calcul habituelles sont bien respectées.
Vue d'ensemble
Chaque nouvel ensemble de nombres est construit à partir du précédent, et contient une copie de celui-ci : on identifie l'entier 3 à la classe du couple (3, 0), puis à la fraction 3/1, et ainsi de suite. On ne « découvre » pas les nombres négatifs ou irrationnels : on les fabrique pour qu'une opération devienne toujours possible.
| Étape | Ce qui manquait | Ce qu'est le nouveau nombre |
|---|---|---|
| ∅ → ℕ | compter | n = {0, 1, …, n − 1} (von Neumann, 1923) |
| ℕ → ℤ | soustraire : 2 − 5 | une classe de couples (a, b), pensée comme a − b |
| ℤ → ℚ | diviser : 2 ÷ 5 | une classe de couples (p, q), q ≠ 0, pensée comme p/q |
| ℚ → ℝ | passer à la limite : √2 | une coupure : l'ensemble des rationnels situés « à gauche » (Dedekind, 1872) |
| ℝ → ℂ | résoudre x² = −1 | un couple de réels (a, b), pensé comme a + bi (Hamilton, 1837) |
ℕ : les entiers de von Neumann
Chaque entier est l'ensemble des entiers qui le précèdent.
On pose 0 = ∅, puis on définit le successeur de x par S(x) = x ∪ {x}. Ainsi 1 = {0} = {∅}, 2 = {0, 1}, 3 = {0, 1, 2}. L'entier n a exactement n éléments, et m < n signifie simplement m ∈ n (ou, de façon équivalente, m ⊊ n). L'addition et la multiplication se définissent alors par récurrence, sans rien supposer d'autre : a + 0 = a et a + S(b) = S(a + b), puis a × 0 = 0 et a × S(b) = a × b + a. Le prédécesseur de n s'obtient comme la réunion de ses éléments. La page calcule ainsi directement sur les ensembles, sans jamais utiliser les entiers de l'ordinateur, puis compare le résultat à l'arithmétique habituelle.
ℤ : des couples pour soustraire
L'entier relatif −3 est l'ensemble de tous les couples (a, b) d'entiers naturels tels que « a − b = −3 ».
Dans ℕ, 2 − 5 n'existe pas. On remplace donc la différence a − b, qu'on ne sait pas toujours calculer, par le couple (a, b), qu'on sait toujours écrire. Deux couples représentent la même différence quand a − b = c − d, ce qui s'écrit sans soustraction : (a, b) ~ (c, d) ⟺ a + d = b + c. C'est une relation d'équivalence, et un entier relatif est une classe : une diagonale du quadrillage ℕ × ℕ. On définit (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) et (a, b) × (c, d) = (ac + bd, ad + bc), qui imite (a − b)(c − d). Reste à vérifier que le résultat ne dépend pas des représentants choisis.
ℚ : des couples pour diviser
La fraction 2/3 est l'ensemble de tous les couples (2, 3), (4, 6), (−2, −3)…
On recommence avec la division. Une fraction est un couple (p, q) d'entiers relatifs avec q ≠ 0, et (p, q) ~ (r, s) ⟺ ps = qr. Dans le plan, la classe de (p, q) est formée des points entiers d'une droite passant par l'origine (privée de l'origine) : un rationnel est une direction. La somme se définit par (p, q) + (r, s) = (ps + rq, qs) et le produit par (p, q) × (r, s) = (pr, qs). La condition q ≠ 0 n'est pas un détail : avec le couple (0, 0), la relation ne serait plus transitive et toutes les fractions se retrouveraient dans une seule classe.
ℝ : les coupures de Dedekind
Un réel est la manière dont il coupe les rationnels en deux.
Aucune fraction n'a pour carré 2, mais √2 sépare nettement les rationnels : ceux qui sont négatifs ou de carré inférieur à 2 d'un côté, les autres de l'autre. Dedekind (1872) décide que le réel √2 est cette partie A de ℚ. Une coupure est une partie A de ℚ non vide, différente de ℚ, « fermée vers le bas » et sans plus grand élément. Les rationnels eux-mêmes en font partie : le rationnel r devient la coupure {x ∈ ℚ : x < r}. L'ordre devient l'inclusion. Le gain est la complétude : toute partie majorée a une borne supérieure, la réunion des coupures. C'est exactement ce qui manquait à ℚ.
Signature : ℂ comme couples, le poids des accolades, deux constructions pour un même ℝ
Le dernier étage, le coût de l'édifice, et sa solidité.
Hamilton (1837) définit un complexe comme un couple de réels (a, b), avec (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) et (a, b) × (c, d) = (ac − bd, ad + bc). Le couple i = (0, 1) vérifie alors i × i = (−1, 0) : la racine de −1 n'a rien de mystérieux, c'est un couple. Multiplier par le couple w revient à faire tourner le plan de l'argument de w et à l'agrandir de son module. ℂ est un corps, mais on y perd l'ordre : aucun ordre compatible avec le calcul ne peut exister, puisqu'on aurait à la fois i² = −1 < 0 et i² ⩾ 0.
Tout nombre est finalement un ensemble construit à partir de ∅. Mais combien d'accolades faut-il pour l'écrire en entier ? L'entier n de von Neumann en demande 2n. Un entier relatif est représenté par un couple d'entiers naturels, écrit comme couple de Kuratowski (a, b) = {{a}, {a, b}}. Un rationnel, à son tour, est un couple d'entiers relatifs. Les nombres grossissent très vite. On écrit ici le plus petit représentant de chaque classe, alors que la vraie classe est infinie. Quant à un réel, c'est une partie infinie de ℚ : on ne peut plus l'écrire du tout. Personne ne calcule ainsi, mais le fait que ce soit possible garantit que tout repose sur les seuls axiomes des ensembles.
Cantor et Méray avaient proposé une autre construction de ℝ : un réel est une classe de suites de Cauchy de rationnels, deux suites étant équivalentes quand leur différence tend vers 0. Ce sont deux constructions bien différentes : des parties de ℚ d'un côté, des suites de rationnels de l'autre. Pourtant, elles fabriquent le même ℝ, car il n'existe qu'un seul corps ordonné complet, à isomorphisme près. La page calcule chaque nombre des deux façons, en arithmétique exacte. Côté Dedekind, chaque chiffre est le plus grand qui laisse la troncature dans la coupure. Côté Cauchy, on prend une suite de fractions : la méthode de Newton pour les racines, les quotients de nombres de Fibonacci pour φ.
Une brève histoire
En résumé
Un seul matériau
Tout nombre est un ensemble construit à partir de ∅ : un ensemble de prédécesseurs, une classe de couples, une coupure, un couple de réels.
Trois outils
La récurrence pour ℕ, le quotient par une relation d'équivalence pour ℤ et ℚ, les parties de ℚ (ou les suites) pour ℝ. À chaque étape, il faut vérifier que les opérations ne dépendent pas des représentants.
Ce que l'on gagne, ce que l'on perd
On gagne la soustraction, la division, la limite, puis les racines. On perd en route le bon ordre de ℕ, la dénombrabilité de ℚ, puis l'ordre lui-même dans ℂ.
Pour aller plus loin
Identifier n'est pas inclure. Au sens strict, ℕ n'est pas une partie de ℤ : l'entier 3 de von Neumann n'est pas la classe de (3, 0). On dispose seulement d'une injection qui respecte les opérations, et l'on convient de ne pas distinguer un objet de son image. Les mathématiciens ne s'en soucient plus après la construction.
Unicité. Toutes les constructions raisonnables de ℝ (coupures, suites de Cauchy, développements décimaux) donnent des corps ordonnés complets, et deux tels corps sont isomorphes par une unique bijection qui respecte l'ordre et les opérations.
Les surréels. Conway (1974) a imaginé une seule construction, par coupures généralisées, qui produit d'un coup les entiers, les réels, les ordinaux transfinis et les infiniment petits.
Liens. Les ensembles comme langage des mathématiques, les fondements de la théorie des ensembles, les relations d'équivalence, les ensembles infinis, les ordinaux et la récurrence transfinie.