Théorie des ensembles
En ramenant tous les domaines des mathématiques à un même langage minimaliste, les mathématiques ont gagné une cohérence absolue : un théorème démontré en théorie des ensembles est immédiatement transposable à l'analyse, à l'algèbre ou à l'informatique théorique. Cinq planches pour le vérifier sur un exemple précis, calculé et confronté deux fois plutôt qu'une à chaque étape.
Sur un petit ensemble E = {a, b, c, d, e}, on fixe une famille ℱ de parties « closes » : celles qui respectent la règle « a et b vont toujours ensemble, d et e aussi ». Cette famille est stable par intersection quelconque. Cliquez des jetons pour former une partie A, et comparez les deux façons d'obtenir la plus petite partie close qui la contient.
F est close ⟺ (a ∈ F ⟺ b ∈ F) et (d ∈ F ⟺ e ∈ F). c est libre.
Même théorème, autre costume : E = ℝ, et les parties « closes » sont maintenant les fermés usuels — stables, eux aussi, par intersection quelconque. Déplacez a et b pour choisir l'intervalle ouvert A = (a, b), puis resserrez la famille emboîtée des fermés Fε = [a−ε, b+ε] qui contiennent A : son intersection doit retomber exactement sur [a, b], le plus petit fermé contenant A.
A = ( ; )
Fε = [ ; ]
[a ; b] — écart courant : [a ; b] ✓ identiquesNouveau costume : G = (ℤ/12ℤ, +), et les parties « closes » sont les sous-groupes — encore stables par intersection quelconque. Cliquez des points de l'horloge pour choisir une partie génératrice A, et comparez le sous-groupe obtenu « par le bas » (en combinant les éléments de A) et « par le haut » (en intersectant tous les sous-groupes qui contiennent A).
H₁={0..11} · H₂={0,2,4,6,8,10} · H₃={0,3,6,9}
H₄={0,4,8} · H₆={0,6} · H₁₂={0}
Dernier costume : un automate de neuf états reliés par des règles de transition x → y, et les parties « closes » sont les ensembles d'états stables par ces règles — toujours stables par intersection quelconque. Choisissez des états de départ A et comparez les états accessibles obtenus « par le bas » (parcours des règles) et « par le haut » (intersection des ensembles stables qui contiennent A).
0→1, 0→2, 1→3, 2→3, 1→7, 7→4, 2→8, 8→5, 3→4, 3→5, 4→6, 5→6
Le même théorème, mot pour mot, habillé quatre fois. Cliquez un costume : seuls les mots surlignés changent dans le texte ci-dessous — le squelette de la preuve, lui, ne bouge pas.