Deux ensembles ont le même cardinal quand on peut apparier leurs éléments un à un, sans oubli ni doublon. Pour les ensembles finis, cela redonne le nombre d'éléments. Pour les ensembles infinis, cela ouvre une échelle sans fin : ℵ₀ pour les entiers, le continu 𝔠 pour les réels, puis 2𝔠, et au-delà. Cette page prolonge les pages consacrées à l'équipotence et aux ensembles infinis : elle ne redémontre pas l'argument diagonal, elle construit les cardinaux eux-mêmes, leur arithmétique, et termine sur la question que Cantor n'a jamais pu résoudre. Chaque bijection affichée est vérifiée par la page, élément par élément.
Un ordinal décrit une file bien rangée : un premier élément, un suivant, et ainsi de suite, même au-delà de l'infini. La file des entiers s'appelle ω. Si l'on ajoute un élément après tous les entiers, on obtient ω + 1, une file vraiment différente puisqu'elle possède un dernier élément. Deux copies de ω à la suite donnent ω · 2, une infinité de copies donne ω². Toutes ces files ont pourtant le même nombre d'éléments : il suffit de défaire l'ordre et de les ranger autrement. Choisissez une file, puis cliquez sur « Ranger dans ω ».
Ce qu'est un cardinal. Tous les ordinaux de cette liste sont équipotents à ω, mais ils ne sont pas rangés de la même façon : seul 1 + ω garde l'ordre intact (le nouvel élément prend la place 0 et tout le monde recule d'un cran), les autres rangements inversent forcément des couples. Von Neumann définit alors le cardinal d'un ensemble comme le plus petit ordinal qui lui soit équipotent. Pour toutes ces files, c'est ω lui-même, que l'on renomme ℵ₀ (aleph zéro) quand on le regarde comme un cardinal. Le premier ordinal qu'aucune bijection ne ramène à ω s'appelle ω₁ : c'est l'ensemble de tous les ordinaux dénombrables, et son cardinal est ℵ₁.
Pour que tout ensemble ait un cardinal, il faut pouvoir le ranger en file bien ordonnée : c'est le théorème de Zermelo (1904), équivalent à l'axiome du choix. Hartogs (1915) montre que sans le choix, deux ensembles peuvent devenir incomparables : aucun ne s'injecte dans l'autre. Comparer toutes les tailles, c'est exactement admettre l'axiome du choix.
Les opérations sur les cardinaux se définissent par des constructions d'ensembles, sans jamais compter. La somme κ + λ est le cardinal d'une réunion de deux ensembles rendus disjoints. Le produit κ · λ est celui du produit cartésien. La puissance κλ est le cardinal de l'ensemble des applications d'un ensemble de taille λ vers un ensemble de taille κ. Sur les ensembles finis, on retrouve l'arithmétique de l'école ; mais les règles de calcul viennent de bijections qui ne regardent jamais si les ensembles sont finis.
Cantor savait que ℕ × ℕ se range en une seule file, en parcourant les diagonales. Pour passer à n'importe quel cardinal infini, il faut une numérotation mieux adaptée : ranger les couples par carrés emboîtés, selon le plus grand de leurs deux termes. Son avantage décisif est que tous les couples placés avant (m, n) tiennent dans un carré dont le côté ne dépasse pas max(m, n) + 1. Cliquez sur une case de la grille pour voir ses prédécesseurs.
Le passage à l'infini. Supposons le résultat vrai pour tous les cardinaux infinis plus petits que κ, et rangeons κ × κ par carrés. Un couple (α, β) n'a pour prédécesseurs que des couples du carré γ × γ, où γ = max(α, β) + 1 < κ : il y en a au plus |γ| · |γ|, qui vaut |γ| par hypothèse, donc moins que κ. Une file où chaque élément a moins de κ prédécesseurs a une longueur au plus κ. D'où κ · κ = κ. Conséquence immédiate : pour deux cardinaux dont l'un au moins est infini, κ + λ = κ · λ = max(κ, λ). L'addition et la multiplication infinies absorbent le plus petit terme. Tarski (1924) a montré que « κ · κ = κ pour tout ensemble infini » est à son tour équivalent à l'axiome du choix.
L'addition et la multiplication n'ont rien créé de nouveau : seule la puissance fait monter. Cantor a montré en 1891 que 2κ > κ pour tout cardinal κ (les parties d'un ensemble sont toujours plus nombreuses que ses éléments). Le cardinal 2ℵ₀, celui des suites de 0 et de 1, est aussi celui de la droite réelle : on le note 𝔠, le continu. Mais la puissance, à son tour, a ses surprises : une suite infinie de réels ne contient pas plus d'information qu'un seul réel.
Entre ℵ₀ et 𝔠, y a-t-il un cardinal intermédiaire ? Cantor pensait que non : c'est l'hypothèse du continu, 𝔠 = ℵ₁. Gödel (1940) a montré qu'on ne peut pas la réfuter à partir des axiomes usuels ZFC, Cohen (1963) qu'on ne peut pas la démontrer. Mais ZFC n'est pas muet pour autant : un théorème de Julius König (1905), qui généralise la diagonale de Cantor, interdit certaines valeurs au continu. Le premier volet montre ce théorème à l'œuvre sur des ensembles finis ; le second en tire les conséquences sur l'échelle des alephs.
Le problème reste ouvert, mais il a changé de nature : il ne s'agit plus de démontrer, puisque les deux réponses sont compatibles avec ZFC, mais de choisir de nouveaux axiomes et de juger de leur valeur. Les axiomes de forcing les plus puissants (le principe PFA, le « maximum de Martin ») entraînent 2ℵ₀ = ℵ₂ ; d'autres programmes, comme celui de Woodin, ont successivement penché vers l'une et l'autre réponse. Hilbert avait placé la question en tête de sa liste de 1900 ; elle y est toujours, sous une forme nouvelle.