L'axiome du choix

Une fonction de choix explicite rend l'axiome inutile.

Pour les parties non vides de ℕ, on prend le plus petit élément : la règle marche toujours, puisque ℕ est bien ordonné. Pour les intervalles ouverts ]a ; b[, on prend le milieu. Pour les parties de ℚ de la forme ℚ ∩ ]a ; b[, on prend la fraction de plus petit dénominateur, qui est unique. Pour les parties non vides de ℝ quelconques, en revanche, personne ne connaît de règle. Toutes les idées simples échouent sur un exemple, et l'on sait que les axiomes de ZF ne suffisent pas à garantir qu'une telle règle existe. C'est là que l'axiome du choix devient nécessaire. Remarquez aussi qu'une famille finie n'a jamais besoin de l'axiome : on choisit élément par élément, en un nombre fini d'étapes.

Choisir un antécédent pour chaque image, c'est choisir un élément dans chaque fibre.

Soit f : E → F une surjection. Une section de f est une application s : F → E telle que f(s(y)) = y pour tout y. Pour la construire, il faut choisir, pour chaque y, un antécédent dans la fibre f⁻¹({y}). Les sections de f sont donc exactement les éléments du produit ∏ f⁻¹({y}), et leur nombre est le produit des tailles des fibres. Quand F est fini, on construit une section à la main, fibre par fibre. Mais pour la surjection qui envoie chaque réel x sur sa classe x + ℚ, une section serait un ensemble contenant exactement un représentant de chaque classe. C'est l'ensemble de Vitali, et seul l'axiome du choix permet d'affirmer qu'il existe. Cliquez sur les points de E pour choisir vous-même l'antécédent de chaque élément de F.

Un élément maximal existe dès que toute chaîne a un majorant.

Pour trouver une base d'un espace vectoriel, on part d'une famille libre et on lui ajoute des vecteurs tant que la famille reste libre. Les familles libres, ordonnées par inclusion, ont une propriété clé : la réunion d'une chaîne de familles libres, chacune contenue dans la suivante, est encore libre. Le lemme de Zorn affirme alors qu'il existe une famille libre maximale, qu'on ne peut plus agrandir : c'est une base. En dimension finie, l'ajout s'arrête de lui-même, et la page le fait dans l'espace (𝔽₂)ⁿ des mots de n bits, où l'on ajoute deux vecteurs par OU exclusif. Pour ℝ vu comme espace vectoriel sur ℚ, il faudrait ajouter une infinité non dénombrable de vecteurs. L'existence d'une telle base, dite de Hamel, repose sur l'axiome du choix, et personne n'en a jamais exhibé une.

Avec une fonction de choix, on range les éléments un par un.

L'idée de Zermelo (1904) est simple. Avec une fonction de choix f sur les parties non vides de E, on pose x₀ = f(E), x₁ = f(E ∖ {x₀}), x₂ = f(E ∖ {x₀, x₁}), et ainsi de suite, en continuant au-delà du fini par récurrence transfinie, jusqu'à épuiser E. Le rang de chaque élément dans cette liste définit un bon ordre : toute partie non vide a un plus petit élément. Pour ℚ ∩ [0 ; 1], une règle explicite suffit. On prend à chaque fois la fraction restante de plus petit dénominateur, puis de plus petit numérateur. On obtient la liste 0, 1, 1/2, 1/3, 2/3, 1/4… C'est un bon ordre, très différent de l'ordre habituel, où ]0 ; 1] n'a pas de plus petit élément. Pour ℝ, aucun bon ordre n'a jamais pu être écrit, mais l'axiome du choix garantit qu'il en existe.

Deux conséquences de l'axiome qui défient l'intuition.