L'arithmétique passe pour la plus concrète des mathématiques. Elle est pourtant celle où les énoncés portent le plus directement sur des parties : la récurrence dit qu'une partie de ℕ contenant 0 et stable par successeur est ℕ tout entier ; le pgcd est le plus grand élément d'une intersection de deux ensembles de diviseurs ; le théorème chinois est une bijection ; et la factorisation unique est, elle aussi, une bijection — dont le produit d'Euler est la mise en équation.
Le cinquième axiome de Peano ne parle pas de calcul : si une partie A de ℕ contient 0 et si n ∈ A entraîne n+1 ∈ A, alors A = ℕ. Choisissez une propriété : la page dessine la partie qu'elle définit et lance la propagation.
C'est le principe du bon ordre, équivalent à la récurrence, et il interdit les descentes infinies. Fermat en a fait une méthode de démonstration : on suppose une solution, on en fabrique une strictement plus petite, et l'on conclut qu'il n'y en avait aucune.
À chaque entier a on associe deux parties de ℕ : D(a), ses diviseurs, et M(a), ses multiples. Alors pgcd(a,b) = max( D(a) ∩ D(b) ) et ppcm(a,b) = min( M(a) ∩ M(b) ) : les deux opérations les plus utilisées de l'arithmétique sont des intersections.
Les diviseurs d'un entier, ordonnés par divisibilité, forment un treillis. Dans ce diagramme, le pgcd de deux diviseurs est leur plus grand minorant commun, le ppcm leur plus petit majorant : les deux opérations deviennent purement géométriques.
Connaître un entier modulo m et modulo n, est-ce le connaître modulo mn ? La réponse est une question d'ensembles : l'application x ↦ (x mod m, x mod n) va de ℤ/mnℤ dans ℤ/mℤ × ℤ/nℤ, deux ensembles de même cardinal — elle est bijective exactement quand m et n sont premiers entre eux.
Le crible d'Ératosthène ne construit pas les premiers : il enlève. On part de ℕ et l'on retire, une famille après l'autre, les multiples déjà connus ; ce qui survit est premier. L'ensemble obtenu est infini — Euclide le démontre en fabriquant un élément qui manque à toute liste finie.
Le théorème fondamental de l'arithmétique dit qu'un entier est déterminé par la liste de ses exposants, et réciproquement : c'est une bijection entre ℕ* et les suites d'exposants presque toutes nulles. Un entier n'est plus un objet, c'est une adresse.
Élément signature. Développez le produit (1 + 1/2ˢ + 1/4ˢ + …)(1 + 1/3ˢ + 1/9ˢ + …)(1 + 1/5ˢ + …) … : chaque terme obtenu est 1/nˢ pour un entier n, et chaque entier apparaît une fois et une seule. Cette égalité entre une somme et un produit n'est rien d'autre que la factorisation unique, écrite en une ligne.
Euler en tire une preuve nouvelle de l'infinité des nombres premiers, bien plus fine que celle d'Euclide : non seulement ils sont en nombre infini, mais ils sont assez nombreux pour que la somme de leurs inverses s'échappe — alors que la somme des inverses des carrés, elle, converge.