Domaine, image, antécédent — injection, surjection, bijection — fonction réciproque
Une fois qu'on sait fabriquer le produit cartésien E × F et y découper des relations, il reste à repérer celles qui méritent un nom particulier : les applications. La règle est courte — chaque élément de l'ensemble de départ reçoit une image et une seule — mais tout le vocabulaire de l'analyse en découle. Les cinq planches ci-dessous le construisent dans l'ordre, en déplaçant de vrais jetons et en comptant de vraies flèches : chaque affirmation est vérifiée sur la figure, et le plus souvent recomptée par une seconde méthode.
Choisissez une règle reliant E = {1, …, 8} à F = {0, …, 5}. Les flèches partent de gauche vers la droite ; à droite, le même objet est dessiné comme une partie du quadrillage E × F : son graphe. Une règle n'est une application que si chaque ligne du quadrillage porte exactement une case noircie.
Ce que dit la planche. Une application de E dans F associe à tout x de E un unique f(x) de F : aucune flèche manquante, aucune flèche en double. Quand des éléments n'ont pas d'image, on parle de fonction définie sur une partie de E : son domaine de définition est l'ensemble des x qui reçoivent effectivement une image, et la fonction devient une application dès qu'on la restreint à ce domaine. Quand un élément reçoit deux flèches, rien ne peut sauver la règle : le symbole f(x) n'aurait pas de sens, puisqu'il ne désignerait pas un objet unique.
Ici la règle est toujours une application f : E → F, avec E = {1, …, 6} et F = {0, …, p−1}. Cliquez sur les éléments de E pour composer une partie A (en bleu) : la page allume son image directe f(A). Cliquez sur les éléments de F pour composer une partie B (en orange) : la page allume son image réciproque f−1(B), l'ensemble des antécédents.
Rien n'est admis : pour l'application choisie, la page passe en revue toutes les parties A, A′ de E et B, B′ de F, et compte les cas où l'énoncé tombe en défaut. Les inclusions ne tombent jamais ; ce sont les égalités qui échouent, et exactement là où l'on s'y attend.
| Énoncé | cas examinés | échecs | contre-exemple |
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Ce que dit la planche. f(x) est l'image de x ; x est un antécédent de y — l'article indéfini est important, car un élément de l'arrivée peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents. La notation f−1(B) a toujours un sens, même si f n'est pas bijective : c'est une partie, pas une fonction réciproque. L'image réciproque respecte toutes les opérations ensemblistes ; l'image directe, elle, ne respecte que la réunion. Retenez la dissymétrie : A ⊆ f−1(f(A)) devient une égalité quand f est injective, et f(f−1(B)) ⊆ B quand f est surjective.
Réglez les deux cardinaux, puis fabriquez l'application vous-même : cliquez un élément de E (il s'entoure), puis l'élément de F qui doit devenir son image. Les deux boutons de contrôle lancent le test véritable — le premier compare les n(n−1)/2 couples d'éléments de départ, le second parcourt les éléments d'arrivée un par un.
La page les énumère toutes lorsqu'elles sont moins de 300 000, et compare le compte obtenu aux formules classiques. Les surjections se comptent par le crible : S(n, p) = Σk=0p (−1)k C(p, k) (p − k)n.
| Catégorie | formule | valeur | énumération | écart |
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Ce que dit la planche. Injective : deux éléments distincts n'ont jamais la même image, autrement dit tout élément de F a au plus un antécédent. Surjective : tout élément de F a au moins un antécédent, c'est-à-dire Im f = F. Bijective : exactement un, ni plus ni moins. Les cardinaux tranchent d'avance : aucune injection si card E > card F (c'est le principe des tiroirs), aucune surjection si card E < card F, et une bijection exige l'égalité.
Construire f−1, c'est retourner toutes les flèches. L'opération est toujours possible sur le dessin ; ce qui n'est pas toujours possible, c'est que le résultat soit encore une application.
La réciproque n'est pas lue sur une formule : pour chaque y, la page résout f(t) = y par dichotomie (60 coupes successives) sur l'intervalle de restriction, puis recompose f−1(f(x)) et mesure l'écart à x.
Ce que dit la planche. Les flèches retournées constituent une application si et seulement si chaque y d'arrivée en reçoit exactement une : f doit être bijective. Si f n'est pas surjective, on la corestreint à Im f — on rétrécit l'arrivée, et c'est gratuit. Si f n'est pas injective, il faut restreindre le départ, et là on perd des éléments : c'est ce que l'on fait en analyse quand on restreint x ↦ x² aux réels positifs pour obtenir la racine carrée, ou le sinus à [−π/2 ; π/2] pour obtenir l'arc sinus. Sur le dessin, retourner les flèches revient exactement à réfléchir la courbe par rapport à la première bissectrice ; le test de l'horizontale dit tout de suite si le résultat sera une courbe de fonction.
Sur un ensemble fini, se donner une application de E dans lui-même et la savoir injective suffit à la savoir surjective : les deux notions n'en font qu'une. Sur ℕ, elles divorcent, et une partie stricte peut alors être mise en bijection avec le tout. Les trois volets ci-dessous établissent ce contraste par le calcul.
Toutes les applications de E = {1, …, n} dans lui-même sont énumérées une à une — nn d'entre elles — et triées. Les deux colonnes du milieu ne se séparent jamais.
| n | applications nn | injectives | surjectives | bijectives | n! | injectives non surjectives |
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L'hôtel a une chambre par entier naturel, et toutes sont occupées. On demande pourtant au client de la chambre n de passer dans la chambre n + 1 — ou dans la chambre 2n. Regardez ce qui se libère.
Deux applications sur ℕ, prises à contre-emploi : la première rate l'injectivité en donnant exactement deux antécédents à chaque entier, la seconde numérote ℤ tout entier sans trou ni doublon.
Ce que dit la planche. Pour E fini, une application de E dans E est injective si et seulement si elle est surjective : l'énumération exhaustive le confirme jusqu'à n = 6, où les 46 656 applications donnent 720 injectives et exactement 720 surjectives. Sur ℕ, l'équivalence tombe : n ↦ n + 1 est injective sans être surjective, n ↦ ⌊n/2⌋ est surjective sans être injective. C'est même la définition que Dedekind donne d'un ensemble infini : un ensemble en bijection avec l'une de ses parties strictes. La numérotation z(n) pousse l'idée un cran plus loin : ℤ, qui contient ℕ et bien davantage, se laisse pourtant compter par ℕ.