L'analyse a mauvaise réputation : on la croit faite de calculs. Elle est faite d'ensembles. La borne supérieure est le plus petit élément d'un ensemble de majorants ; une limite se dit avec des voisinages ; la valeur d'adhérence est un point d'accumulation ; et l'intégrale de Lebesgue se fabrique en mesurant les parties { f > t }. Cette planche suit ce fil jusqu'à un théorème qui déplace une somme infinie où l'on veut.
Tout part d'un axiome qui ne parle que de parties : toute partie non vide et majorée de ℝ possède une borne supérieure. Cette borne est définie comme le plus petit élément de l'ensemble des majorants — un ensemble, et le minimum d'un autre ensemble. Rien de plus, et c'est de là que sort toute l'analyse.
« Tendre vers ℓ » signifie : pour toute bande autour de ℓ, si mince soit-elle, la suite finit par y rester. Choisissez la mince bande, la page cherche à partir de quel rang elle tient — ou constate qu'aucun rang ne convient.
Même sans limite, deux nombres existent toujours : limsup, borne inférieure des sup des queues de la suite, et liminf. Les queues forment une suite décroissante de parties, et l'on prend le sup de chacune.
Weierstrass, 1872 : la fonction W(x) = Σ 2⁻ⁿ cos(13ⁿ π x) est continue en chaque point et n'a de tangente nulle part. Zoomez : le dessin ne se redresse jamais, il se répète. Le taux d'accroissement, lui, ne se stabilise pas — il explose.
Riemann découpe l'axe des x en petits intervalles et additionne des rectangles verticaux. Lebesgue découpe l'axe des y et, pour chaque hauteur t, mesure la partie { x : f(x) > t } : l'intégrale devient une somme de mesures d'ensembles.
Soit 1ℚ, qui vaut 1 sur les rationnels et 0 ailleurs. Selon qu'on pointe les rectangles sur un rationnel ou sur un irrationnel, la somme de Riemann vaut 1 ou 0, quelle que soit la finesse : la fonction n'est pas intégrable au sens de Riemann. Lebesgue n'a besoin que d'une chose — la mesure de ℚ, qui est nulle.
Élément signature. La série 1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + … vaut ln 2. Changez l'ordre des termes — c'est-à-dire composez par une bijection de ℕ — et vous obtenez la somme que vous voulez. Choisissez une cible : la page construit la permutation devant vous.
Les termes positifs seuls, 1 + 1/3 + 1/5 + …, forment une série divergente ; les négatifs seuls aussi. On dispose donc de deux réservoirs inépuisables, et l'on puise alternativement dans l'un puis dans l'autre pour encadrer la cible d'aussi près qu'on veut. Une série absolument convergente n'offrirait pas cette liberté.