Un groupe n'est pas un objet mystérieux : c'est un ensemble, plus une application de G × G dans G, soumise à trois conditions. Un sous-groupe est une partie, une classe est un bloc de partition, un noyau est une image réciproque. Cette planche part de la table de multiplication la plus petite possible et remonte jusqu'à une impossibilité célèbre, démontrée par un morphisme.
Sur l'ensemble X = { a, b, c }, se donner une loi, c'est remplir les neuf cases d'une table : à chaque couple, une valeur et une seule. Une loi est donc exactement une application X × X → X, c'est-à-dire une partie de (X × X) × X. Cliquez les cases et regardez les propriétés apparaître et disparaître.
Prenez les huit façons de poser un carré sur son empreinte : quatre rotations et quatre retournements. Composées, elles redonnent toujours l'une des huit — c'est le groupe D₄. L'ensemble a huit éléments, la loi est la composition, et la table ci-contre est cette loi tout entière.
Un sous-groupe H découpe G en paquets gH, tous de même effectif et deux à deux disjoints : c'est une partition, et le théorème de Lagrange n'est que le comptage de ce découpage. Quand les paquets à gauche et à droite coïncident, l'ensemble des paquets devient lui-même un groupe.
Une application entre deux groupes est un morphisme lorsqu'elle transporte la loi : f(x · y) = f(x) ∗ f(y). C'est une condition très rare. Le noyau f⁻¹({e}) et l'image f(G) sont deux parties, et leurs effectifs se multiplient exactement pour redonner celui de G.
On passe en revue les 2⁸ = 256 applications de D₄ dans ℤ/2ℤ et l'on garde celles qui transportent la loi. Le noyau de chacune est un sous-groupe distingué, et l'on retrouve exactement ceux que la planche 3 avait repérés.
Élément signature. Le jeu de taquin porte un invariant caché : la parité de la permutation des quinze pièces, corrigée par la ligne de la case vide. Chaque coup légal la laisse inchangée. Il suffit alors d'une position dont l'invariant diffère de celui de la position rangée pour prouver qu'aucune suite de coups, si longue soit-elle, ne peut y mener.
Toute permutation se décompose en échanges de deux éléments. Le nombre d'échanges dépend de la décomposition, mais sa parité, non — et cette parité est un morphisme de groupes. C'est elle qui interdit la position ci-dessus, et c'est aussi elle qui donne son signe au déterminant.