Union, intersection, différence, complémentaire, différence symétrique
Tout se passe dans un univers fixe : les vingt-quatre premiers entiers, E = {1 ; 2 ; … ; 24}. Deux parties A et B y sont découpées par une règle que vous choisissez, et les jetons vont se ranger d'eux-mêmes. Les cinq opérations ne font jamais qu'une chose : décider, pour chaque élément pris un par un, s'il entre ou non dans le résultat. Chaque planche affiche ses comptes et les confronte à la formule classique correspondante.
Choisissez la règle qui définit A, celle qui définit B, puis l'opération. Les jetons se déplacent vers la zone qui leur revient et le résultat s'allume.
Les quatre premières opérations s'énoncent avec les mots « ou », « et », « sans » et « non ». La cinquième, la différence symétrique A Δ B, correspond au « ou » exclusif : dans l'un ou dans l'autre, mais pas dans les deux.
Deux parties découpent l'univers en quatre zones sans recouvrement : A privé de B, l'intersection, B privé de A, et ce qui reste dehors. Chaque élément tombe dans une zone et une seule. Cliquez les zones sur le dessin : tout ensemble que l'on peut écrire avec A, B et les cinq opérations est une réunion de ces quatre briques — il n'y en a donc que 24 = 16 en tout.
Aucune autre combinaison n'est possible : deux parties ne peuvent pas distinguer deux éléments d'une même zone. C'est pourquoi on retrouve toujours les mêmes seize ensembles, quelles que soient A et B.
Avec trois parties, un élément a huit situations possibles : il appartient ou non à A, à B, à C. Une égalité entre deux écritures est vraie pour tous les ensembles si et seulement si les deux membres donnent la même réponse dans ces huit cas. La table de huit lignes n'est donc pas un exemple : c'est la démonstration complète.
Les lois de De Morgan sont les plus utiles : le complémentaire échange l'union et l'intersection. Attention en revanche à la différence, qui n'est ni commutative ni associative — la loi marquée « fausse » le montre sur quatre éléments précis.
Faire A Δ B revient à basculer un interrupteur pour chaque élément de A : ce qui était allumé s'éteint, ce qui était éteint s'allume. Partez de l'ensemble vide et appliquez les opérations dans l'ordre que vous voulez.
Muni de Δ, l'ensemble des parties de E devient un groupe : l'élément neutre est ∅, et chaque partie est son propre symétrique puisque A Δ A = ∅. Avec l'intersection comme seconde opération, on obtient même un anneau, où Δ joue l'addition et ∩ la multiplication.
La formule card(A ∪ B) = card A + card B − card(A ∩ B) se généralise à un nombre quelconque de parties : on ajoute les ensembles seuls, on retire les intersections deux à deux, on rajoute celles à trois, et ainsi de suite en alternant. Voici la formule au travail sur un vrai décompte.
N personnes déposent leur chapeau, on les rend au hasard. Quelle est la probabilité que personne ne retrouve le sien ? La formule d'inclusion-exclusion donne une somme alternée qui ne dépend presque plus du nombre de personnes.
Les sommes partielles encadrent toujours le résultat : après un nombre impair d'ordres on est au-dessus, après un nombre pair on est au-dessous. Ce sont les inégalités de Bonferroni, et c'est ce qui rend la formule utilisable même tronquée.