Un ensemble n'est rien d'autre qu'une collection d'objets, appelés ses éléments.
Tout le reste — les opérations, les fonctions, les nombres eux-mêmes — se construit sur une seule
question, posée pour chaque objet : appartient-il, oui ou non ? Les cinq planches ci-dessous
n'utilisent que cette question. Rien n'est recopié d'un cours : chaque nombre affiché est compté
par la page, puis confronté à la formule qui devrait le donner.
1 Appartenir, ne pas appartenir
L'univers de travail est E = {1, 2, …, 24} : vingt-quatre jetons.
Une règle découpe l'univers en deux et en deux seulement. Les jetons qui la vérifient entrent dans
la patate A ; les autres restent dehors. Touchez un jeton pour le voir testé.
Chaque jeton se range tout seul dès que vous changez de règle.
Règle :
Les deux notations. On écrit x ∈ A pour « x appartient à A »,
et x ∉ A pour « x n'appartient pas à A ». Le trait barré n'est pas un autre signe :
c'est la négation du premier. Un jeton ne peut pas être à la fois dedans et dehors, ni ni l'un ni l'autre —
c'est pourquoi les deux effectifs se recomposent toujours exactement en 24.
2 La règle ne connaît pas les nuances
Prenons une règle réglable : A = { n ∈ E | n ⩾ s }.
En dessous du semis de jetons, la page trace la fonction indicatrice de A : elle vaut 1 sur les
éléments de A, 0 ailleurs. Elle ne prend aucune valeur intermédiaire, et c'est tout le contenu de la
notion d'appartenance. Touchez un jeton pour le tester.
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Comparaison :
Une frontière nette. Passer de ⩾ à >
ne déplace pas la frontière « un peu » : cela fait sortir de A un élément et un seul, celui qui vaut
exactement s. Poussez le seuil jusqu'au bout avec > : plus aucun jeton ne
vérifie la règle. L'ensemble obtenu fait l'objet de la planche suivante.
3 L'ensemble vide
On peut maintenant cumuler les règles : un jeton n'entre dans A
que s'il les vérifie toutes. Plus on en coche, plus A maigrit — et rien n'interdit qu'il ne reste
personne. « Aucun élément » est un cas parfaitement légitime : c'est l'ensemble vide, noté ∅.
Règles cumulées :
Essais tout faits :
À gauche la boîte vide, à droite la boîte qui contient la boîte vide : ce ne sont pas les mêmes.
Vide ne veut pas dire inexistant.∅ est un ensemble comme
un autre, simplement sans élément. Il n'y en a qu'un seul, car deux ensembles sans élément ont exactement
les mêmes éléments — aucun. Et il ne faut pas le confondre avec {∅}, la boîte qui
contient la boîte vide : celle-là a un élément. Le vide est aussi inclus dans n'importe quel ensemble,
faute de pouvoir fournir le moindre contre-exemple.
4 Le singleton, ou l'objet et sa boîte
Un ensemble à un seul élément s'appelle un singleton. La tentation est de confondre
l'élément a avec le singleton {a} ; c'est la confusion
la plus coûteuse de toute la théorie. Un jeton n'est pas une boîte, même si la boîte ne contient que ce jeton.
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1
Ce que compte le cardinal.card {a} = 1 : la boîte contient
un objet. card {{a}} = 1 aussi : elle contient une boîte, qui compte pour un.
Mais card {a, {a}} = 2, car le jeton et la boîte sont deux objets distincts.
Les parties, elles, sont énumérées une à une par la page, jamais déduites d'une formule : leur nombre
tombe pourtant à chaque fois sur 2 élevé au cardinal.
5 Ce que l'appartenance peut faire, et ce qu'elle ne peut pas
Deux volets opposés. D'un côté, l'appartenance suffit à fabriquer les entiers à partir de
rien du tout. De l'autre, laissée sans garde-fou, elle fait s'effondrer la théorie entière.