Les semi-conducteurs : silicium, dopage et jonction PN
Pourquoi un cristal de silicium presque parfait conduit-il si mal, et comment quelques atomes étrangers par million le transforment-ils en composant ? Cinq planches, du cristal à la diode, puis à la lumière et à l'énergie solaire.
Le silicium est l'élément le plus abondant de la croûte terrestre après l'oxygène : c'est le sable. Dans un cristal de silicium, chaque atome est lié à quatre voisins placés aux sommets d'un tétraèdre, et partage avec chacun une paire d'électrons. Cette architecture, la structure diamant, explique presque tout : tous les électrons de valence sont « occupés » dans des liaisons, aucun n'est libre de circuler, et il faut fournir une énergie précise pour en arracher un. Faites tourner la maille ci-dessous : 8 atomes par cube de 5,431 Å de côté.
Des niveaux d'énergie aux bandes
Un atome isolé n'offre à ses électrons que quelques niveaux d'énergie bien séparés. Rapprochez deux atomes : chaque niveau se dédouble, car l'électron peut sauter d'un atome à l'autre. Avec N atomes, chaque niveau devient N niveaux très serrés : une bande. Dans le silicium, la bande du bas (bande de valence, celle des liaisons) est pleine, la bande du haut (bande de conduction) est vide, et entre les deux s'ouvre la bande interdite, large de 1,12 eV : aucun électron ne peut y séjourner. On l'illustre avec un modèle jouet, une chaîne d'atomes à deux niveaux reliés par une énergie de saut t qui grandit quand les atomes se rapprochent.
Le dopage et le niveau de Fermi
La chaleur fait passer quelques électrons de la bande de valence à la bande de conduction ; chacun laisse un trou. Pour maîtriser leur nombre, on dope le cristal : un atome de phosphore (5 électrons de valence) remplace un silicium et cède son électron en trop presque sans effort, 0,045 eV seulement ; c'est un donneur (type N). Un atome de bore (3 électrons) capte un électron du cristal et crée un trou ; c'est un accepteur (type P). Le niveau de Fermi EF résume tout : c'est l'énergie à laquelle un état a une chance sur deux d'être occupé. On le trouve en écrivant que le cristal reste électriquement neutre, puis on compte les porteurs avec la statistique exacte de Fermi-Dirac.
La jonction PN : une barrière qui se construit toute seule
Accolons une région P (riche en trous) et une région N (riche en électrons). Les électrons diffusent vers P, les trous vers N, et se recombinent près de la frontière. Il reste là des atomes dopants ionisés, fixes et non compensés : des donneurs positifs côté N, des accepteurs négatifs côté P. Cette zone de charge d'espace crée un champ électrique qui repousse les porteurs : l'équilibre s'établit quand la diffusion est exactement compensée. Il en résulte une marche de potentiel, la tension de diffusion Vbi. Le manuel la décrit par l'« approximation de déplétion » (zone parfaitement vide de porteurs) ; ici on résout aussi l'équation de Poisson complète par la méthode de Newton, et l'on compare.
La diode polarisée : pourquoi le courant est exponentiel
En polarisation directe (P positif), on abaisse la barrière de V : un nombre de porteurs multiplié par eV/VT la franchit. Les électrons arrivés côté P y sont minoritaires ; ils diffusent en s'éloignant et finissent par se recombiner avec un trou au bout d'une durée de vie τ, après avoir parcouru en moyenne la longueur de diffusion L = √(Dτ). Le courant est fixé par ce flux de diffusion. En polarisation inverse, la barrière grandit et seul passe un courant minuscule, le courant de saturation. C'est l'équation de Shockley (1949).
La jonction au travail : la lumière, le soleil, la pureté
La même jonction PN, pensée autrement, donne trois technologies majeures. Quand un électron retombe dans un trou, il peut émettre un photon dont l'énergie vaut la bande interdite : c'est la diode électroluminescente. À l'inverse, un photon absorbé crée une paire électron-trou que le champ de la jonction sépare : c'est la cellule photovoltaïque. Et rien de tout cela ne marche si le cristal n'est pas d'une pureté extrême : moins d'un atome étranger par milliard, obtenue par la fusion de zone.
La couleur d'une DEL est fixée par la bande interdite du matériau : λ = hc/Eg, soit λ (nm) ≈ 1240/Eg (eV). L'agitation thermique répartit les électrons au-dessus du bas de la bande de conduction : le spectre a la forme √(E − Eg)·e−(E−Eg)/kT, avec un maximum en Eg + kT/2 et une largeur d'environ 1,8 kT. Le silicium, à bande interdite « indirecte », n'émet presque pas de lumière : il faut des composés comme l'arséniure de gallium ou le nitrure de gallium-indium (DEL bleue, prix Nobel 2014).
Une cellule au silicium éclairée se comporte comme une diode à laquelle on ajoute un courant inverse Iph, proportionnel à l'éclairement : I = Iph − I0(eV/VT − 1). Elle débite son courant maximal en court-circuit, et sa tension maximale Vco à vide, mais aucune puissance dans ces deux cas. Entre les deux existe un point de puissance maximale, que les onduleurs recherchent en permanence. On le trouve par une recherche numérique et par une formule exacte faisant intervenir la fonction W de Lambert.
Une impureté se dissout mieux dans le silicium liquide que dans le solide : quand le liquide gèle, il n'en garde qu'une fraction k (le coefficient de ségrégation). William Pfann (laboratoires Bell, 1952) en tire la fusion de zone : on fait fondre une étroite tranche du lingot et on la déplace d'un bout à l'autre. La zone liquide entraîne les impuretés vers l'extrémité ; on recommence plusieurs fois, puis on coupe le bout sale. Après un seul passage, la concentration suit la formule de Pfann C(x) = C0·[1 − (1 − k)·e−kx/ℓ].
Repères historiques
- 1874Ferdinand Braun observe qu'un contact entre un métal et un cristal de galène ne conduit bien que dans un sens.
- 1928 – 1931Felix Bloch puis Alan Wilson expliquent par la théorie des bandes pourquoi un cristal est métal, isolant ou semi-conducteur.
- 1940Russell Ohl découvre la jonction P-N dans un barreau de silicium et l'effet photovoltaïque qui s'y produit.
- 1949William Shockley publie la théorie de la jonction et l'équation de la diode.
- 1952William Pfann invente la fusion de zone ; Gordon Teal et John Little produisent des monocristaux par la méthode de Czochralski.
- 1954Premières cellules solaires au silicium (laboratoires Bell, rendement de 6 %).
- 1962Nick Holonyak réalise la première DEL à lumière visible (rouge, en phosphure-arséniure de gallium).
- 1993Shuji Nakamura met au point la DEL bleue au nitrure de gallium (prix Nobel 2014 avec Isamu Akasaki et Hiroshi Amano).
Ce qu'il faut retenir
Des bandes et un trou
Dans un cristal, les niveaux atomiques deviennent des bandes. Un semi-conducteur a une bande de valence pleine, une bande de conduction vide, et une bande interdite assez étroite pour que la chaleur ou la lumière la franchissent.Le dopage commande
Un atome dopant par million suffit à fixer le nombre de porteurs, et le niveau de Fermi indique d'un coup d'œil qui domine. La loi n·p = ni² relie électrons et trous tant que le cristal n'est pas dégénéré.La jonction fait le composant
Une jonction PN crée d'elle-même un champ et une barrière. En abaissant celle-ci, on libère un courant exponentiel ; en y faisant entrer ou sortir de la lumière, on obtient une DEL ou une cellule solaire.Pour aller plus loin : les modèles et les calculs de contrôle
Planche 1. Chaîne linéaire à deux niveaux atomiques ±Δ (Δ = 3 eV), énergie de saut t = t0·e−(a−a0)/λ avec λ = 0,5 Å et t0 choisi pour retrouver 1,12 eV à a0 = 2,35 Å. C'est un modèle jouet : le vrai silicium a une structure de bandes tridimensionnelle et une bande interdite indirecte. Les valeurs propres sont calculées par la méthode des suites de Sturm (dichotomie sur le nombre de valeurs propres sous un seuil), indépendamment de la formule en cosinus.
Planche 2. Densités d'états effectives Nc, Nv proportionnelles à T3/2, bande interdite selon la loi de Varshni, intégrale de Fermi-Dirac F1/2 calculée par la méthode de Simpson après le changement de variable x = u² (qui supprime la racine carrée), dopants à un seul niveau (dégénérescence 2 pour les donneurs, 4 pour les accepteurs), mobilités constantes. Le niveau de Fermi est obtenu par dichotomie sur l'équation de neutralité. L'énergie d'activation est mesurée sur la courbe calculée à 20 et 22 K, après division par T3/4 pour retirer la variation de Nc.
Planche 3. Jonction abrupte en silicium à 300 K, statistique de Boltzmann, quasi-niveaux de Fermi constants dans la zone de charge d'espace. L'équation de Poisson non linéaire est discrétisée sur un maillage plus fin que la longueur de Debye, puis résolue par la méthode de Newton (système tridiagonal, algorithme de Thomas). La correction de 2kT/e vient de la queue des porteurs qui pénètrent dans la zone de charge d'espace : elle n'est visible qu'en comparant avec le calcul complet.
Planche 4. Diode longue, mobilités et durées de vie identiques des deux côtés, pas de recombinaison dans la zone de charge d'espace (qui donnerait un facteur d'idéalité proche de 2 aux faibles courants), pas de forte injection ni de résistance série. Le contrôle résout l'équation de diffusion des trous par différences finies sur dix longueurs de diffusion.
Planche 5. Spectre de DEL du modèle le plus simple (densité d'états en racine carrée et distribution de Boltzmann). Cellule solaire idéale à une diode, I0 ∝ T³·e−Eg/kT normalisé à 10⁻¹² A/cm² à 298 K, photocourant de 35 mA/cm² sous 1000 W/m². Fusion de zone en tranches discrètes avec mélange parfait dans la zone liquide ; l'écart à la formule continue de Pfann diminue quand on affine le découpage.