Pourquoi un fil freine le courant, de combien, et ce que deviennent l'énergie perdue et la résistance quand on chauffe ou qu'on refroidit très fort. Cinq planches, de la loi d'Ohm aux supraconducteurs.
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L'idée en une phraseAvant de commencer
Dans un conducteur, les électrons poussés par la tension ne filent pas librement : ils heurtent sans cesse les atomes, qui vibrent, et les défauts du métal. Ces chocs freinent le courant, c'est la résistance, et ils transfèrent de l'énergie aux atomes, qui s'agitent davantage : le conducteur chauffe. Tout ce que l'on va voir découle de cette image : la résistance augmente avec la longueur du fil et la température, diminue avec sa section, et peut même disparaître complètement dans certains matériaux très froids.
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Résistance électrique et loi d'OhmQuand la tension et l'intensité sont-elles proportionnelles ?
La résistance R d'un dipôle est le rapport entre la tension U à ses bornes et l'intensité I qui le traverse ; elle se mesure en ohms (Ω). Georg Ohm a découvert en 1827 que pour un fil métallique à température constante ce rapport ne dépend pas de la tension : la courbe I en fonction de U est une droite passant par l'origine. C'est la loi d'Ohm. Elle n'est pas universelle : une lampe dont le filament chauffe, ou une diode, ne la suivent pas.
U = R · I (volts = ohms × ampères) 1 Ω = 1 V/A
Montage : générateur réglable, ampèremètre en série, voltmètre en dérivation aux bornes du dipôle. Les appareils ont une imprécision de 0,5 %.Caractéristique I(U) : points mesurés (bleu), droite des moindres carrés (rouge), et rapport U/I pour chaque point (orange, axe de droite).
Voltmètre · ampèremètre—
Rapport U/I : plus petit · plus grand des points—
Pente de la droite → R mesurée—
Qualité de l'alignement (coefficient de détermination)—
Tester la loi, pas la supposer. Avec la résistance, le rapport U/I reste le même à l'imprécision des appareils près, et la pente de la droite retrouve la valeur cachée à quelques millièmes près. Avec la lampe, U/I augmente nettement avec la tension : le filament chauffe et sa résistance grimpe (planche 3). La diode ne laisse presque rien passer sous 0,5 V puis s'ouvre brutalement : sa caractéristique n'a rien d'une droite. On dit d'un dipôle qui suit U = R·I qu'il est ohmique.
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Résistivité et dimensions d'un conducteurPourquoi les câbles épais et courts résistent moins
La résistance d'un fil dépend de trois choses : son matériau, à travers la résistivité ρ (en Ω·m, propre à chaque substance), sa longueur L et sa section S (l'aire de sa coupe). Plus le fil est long, plus les électrons subissent de chocs ; plus il est épais, plus ils ont de « voies » en parallèle. D'où une formule simple, valable pour un conducteur de section constante.
R = ρ · L / S fil rond de diamètre d : S = π·d²/4
Le fil, dessiné à l'échelle relative (longueur et diamètre).
Résistance du fil—
Si L double · si d double—
Diamètre d'un fil d'aluminium de même résistance—
Une bande de cuivre (6 cm × 2 cm × 0,1 mm) découpée en un réseau de 61 × 21 nœuds reliés par de petites résistances. Couleur : densité de courant. On creuse une encoche pour voir ce que la formule ne dit pas.
Résistance calculée sur le réseau—
Sans encoche : formule ρL/S · écart—
Courant entrant / sortant : écart—
La formule et ses limites. Doubler la longueur double la résistance, doubler le diamètre la divise par 4 (la section varie comme d²). Le cuivre conduit 1,6 fois mieux que l'aluminium, mais l'aluminium est trois fois plus léger : les lignes à haute tension sont en aluminium. Le réseau de petites résistances redonne exactement ρL/S pour une bande uniforme ; avec une encoche, le courant se resserre et contourne l'obstacle, et la résistance augmente bien plus que ne le suggérerait la seule longueur de l'encoche : c'est le calcul numérique qui donne alors la vraie valeur.
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Influence de la températureLes métaux résistent plus à chaud, les semi-conducteurs moins
Quand un métal chauffe, ses atomes vibrent plus fort et les électrons les heurtent plus souvent : la résistance augmente, à peu près linéairement. Le platine suit cette loi avec une telle régularité qu'on en fait des thermomètres de précision, les sondes Pt100 (100 Ω à 0 °C). Dans un semi-conducteur au contraire, la chaleur libère de nouveaux porteurs de charge : la résistance diminue fortement. On en fait des thermistances (CTN).
métal : R = R₀·(1 + α·ΔT) Pt100 (norme CEI 60751) : R = 100·(1 + A·T + B·T²) pour T ≥ 0 °C
Ions du métal (gris) vibrant d'autant plus fort que la température est élevée, et un électron (bleu) qui se fraie un chemin. Le compteur donne le nombre de chocs par seconde de l'animation.R/R(20 °C) en échelle logarithmique : cuivre (marron), sonde Pt100 (bleu), thermistance CTN 10 kΩ (vert).
Fil de cuivre de 1 Ω à 20 °C—
Sonde Pt100—
Température retrouvée à partir de R (méthode de Newton) : écart—
Thermistance CTN 10 kΩ—
Un thermomètre qui se lit en ohms. Une sonde Pt100 vaut 138,51 Ω à 100 °C ; en mesurant sa résistance, on retrouve la température en résolvant l'équation (ici par la méthode de Newton, contrôlée contre la formule exacte du second degré). Le cuivre prend environ 0,39 % de résistance par degré : un fil qui passe de 20 °C à 300 °C double presque sa résistance, ce qui explique la lampe de la planche 1. La thermistance, elle, perd plus de 90 % de sa résistance entre 20 °C et 100 °C : elle sert de capteur sensible, ou de limiteur de courant à l'allumage.
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Effet Joule et échauffementOù va l'énergie que les électrons perdent ?
Chaque choc d'un électron cède un peu d'énergie au métal, qui s'échauffe : c'est l'effet Joule (James Prescott Joule, 1841). La puissance transformée en chaleur vaut R·I². Le fil chauffe jusqu'à ce qu'il évacue vers l'air autant d'énergie qu'il en reçoit ; si cet équilibre est trop chaud, il fond. C'est le principe du fusible, mais aussi du grille-pain, du radiateur et de la bouilloire.
P = U·I = R·I² = U²/R bilan du fil : m·c·dT/dt = R(T)·I² − h·Slat·(T − Tair)
Un fil de cuivre de 1 m tendu dans l'air à 20 °C. Sa couleur suit sa température ; au-delà de 1 085 °C, il fond et le circuit s'ouvre.Température du fil en fonction du temps (bleu : calcul pas à pas ; vert pointillé : température d'équilibre prévue). Ligne rouge : fusion du cuivre.
Puissance dégagée au départ (1 m de fil)—
Température d'équilibre (formule) · atteinte par le calcul—
Constante de temps : formule · mesurée à 63 %—
Courant qui fait fondre ce fil—
Bouilloire de 2 000 W : 1 L d'eau de 20 à 100 °C—
Ce qui chauffe, c'est le carré. Doubler l'intensité quadruple la chaleur dégagée. Comme la résistance du cuivre augmente avec la température, l'échauffement se renforce lui-même ; si le refroidissement ne suit plus, l'emballement est total : la formule d'équilibre n'a alors plus de solution et le fil fond. Un fil fin fond pour quelques ampères : c'est ainsi qu'un fusible protège une installation, en fondant avant que les câbles, plus gros, ne surchauffent. Le modèle néglige le rayonnement, qui devient important au rouge vif : les vraies températures sont un peu plus basses.
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Signature : introduction à la supraconductivitéQuand la résistance tombe exactement à zéro
En 1911, à Leyde, Heike Kamerlingh Onnes, qui vient de réussir à liquéfier l'hélium (−269 °C), mesure la résistance du mercure en le refroidissant. Vers 4,2 K, elle chute brutalement à une valeur trop faible pour être mesurée : c'est la supraconductivité. Sous une température critique Tc, les électrons s'associent par paires (les paires de Cooper, théorie BCS de 1957) qui traversent le métal sans aucun choc. Un courant lancé dans un anneau supraconducteur tourne alors sans s'affaiblir.
Allure de la mesure d'Onnes : résistance d'un fil de mercure en fonction de la température. Le point rouge suit la descente en température.
Température—
Résistance relative R/R(300 K)—
État—
Un anneau de fil (rayon 5 cm, fil de 1 mm de diamètre) parcouru par un courant se comporte comme un circuit R-L : son inductance L entretient le courant, sa résistance R le freine. Le courant décroît en e−t/τ avec τ = L/R. Pour du cuivre, il s'éteint en quelques dizaines de microsecondes ; dans un anneau supraconducteur, des expériences ont suivi un tel courant pendant plus de deux ans sans aucune décroissance mesurable.
inductance de l'anneau : L ≈ μ₀·a·(ln(8a/r) − 2) τ = L/R
Courant dans l'anneau après l'arrêt de la source : cuivre à 20 °C (orange), cuivre refroidi à 77 K (violet, résistance environ 8 fois plus faible), supraconducteur (vert). Calcul pas à pas, échelle de temps en microsecondes.
Inductance de l'anneau—
Résistance du cuivre à 20 °C—
τ = L/R (formule) · mesuré à 37 %—
Supraconducteur : courant après 100 µs—
Pendant soixante-quinze ans, les supraconducteurs restent cantonnés sous 25 K, accessibles seulement avec l'hélium liquide, rare et cher. En 1986, Bednorz et Müller découvrent les cuprates (oxydes de cuivre) ; dès 1987, YBaCuO dépasse 77 K, la température de l'azote liquide, bon marché. Les records suivants (hydrures) exigent des pressions de plus d'un million d'atmosphères. Aujourd'hui, les bobines des IRM et des accélérateurs de particules (alliage niobium-titane) fonctionnent grâce à la supraconductivité.
Température critique selon l'année de découverte (échelle linéaire). Bleu : à pression ordinaire ; orange : sous très haute pression. Lignes : hélium liquide (4,2 K) et azote liquide (77 K). Survolez ou touchez un point.
Matériau sélectionné—
Température critique—
Refroidissement possible avec—
Zéro, vraiment zéro. Une résistance très faible n'est pas une résistance nulle : même refroidi à 77 K, le cuivre n'allonge la vie du courant que d'un facteur 8 environ, alors que l'anneau supraconducteur le garde intact. C'est cette absence totale de pertes par effet Joule qui permet aux bobines d'IRM de produire des champs intenses en circuit fermé, sans alimentation. La supraconductivité a un second visage, l'expulsion du champ magnétique (effet Meissner), traité dans la page consacrée à la supraconductivité.
∑
RécapitulatifRepères historiques et synthèse
1827 Georg Ohm publie la loi qui porte son nom (planche 1).
1841 James Joule mesure la chaleur dégagée par un courant (planche 4).
1871 Werner von Siemens propose le thermomètre à résistance de platine (planche 3).
1900 Paul Drude explique la conduction par les chocs des électrons.
1911 Kamerlingh Onnes découvre la supraconductivité du mercure (planche 5).
1933 Meissner et Ochsenfeld : le supraconducteur expulse le champ magnétique.
1957 Théorie BCS (Bardeen, Cooper, Schrieffer) : les paires d'électrons.
1986-1987 Cuprates : la supraconductivité dépasse 77 K.
Loi d'Ohm et résistivité
U = R·I pour un conducteur ohmique. R = ρ·L/S : proportionnelle à la longueur, inversement proportionnelle à la section, fixée par le matériau à travers ρ.
Température et chaleur
Métaux : R augmente avec T (≈ 0,4 %/°C pour le cuivre) ; semi-conducteurs : R diminue. L'effet Joule P = R·I² chauffe les conducteurs, utilement (radiateurs, fusibles) ou non (pertes en ligne).
Supraconductivité
Sous une température critique, certains matériaux ont une résistance exactement nulle : aucun échauffement, des courants permanents, des électroaimants puissants et sans pertes.
Pour aller plus loin
La page sur l'électrocinétique utilise la loi d'Ohm dans les circuits (Kirchhoff, RC, RLC) ; la page sur le courant électrique décrit le mouvement des électrons et le modèle de Drude ; la page sur la supraconductivité traite l'effet Meissner, la lévitation et les bobines d'IRM.
Hypothèses des modèles : appareils de mesure à imprécision aléatoire de 0,5 % ; lampe 12 V – 0,5 A de caractéristique I ∝ U0,55 ; diode de Shockley (courant de saturation 10⁻¹² A, facteur d'idéalité 1,8) en série avec 100 Ω ; résistivités à 20 °C de valeurs usuelles ; Pt100 selon la norme CEI 60751 (A = 3,9083·10⁻³, B = −5,775·10⁻⁷, C = −4,183·10⁻¹² sous 0 °C) ; thermistance de constante B = 3 950 K ; fil de cuivre refroidi par convection naturelle (h = 15 W/(m²·K)), rayonnement négligé ; courbe du mercure illustrative ; inductance d'une spire circulaire mince.