Ce qui se passe entre l'instant où l'on ferme un interrupteur et celui où tout s'est calmé : montées exponentielles, dépassements, oscillations qui s'éteignent, énergie qui passe du condensateur à la bobine, et résonance quand on entretient le mouvement au bon rythme. Un même circuit de référence (L = 10 mH, C = 1 µF) sert de fil rouge.
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Régime transitoire, régime permanentAvant de commencer
Quand on modifie brusquement un circuit (mise sous tension, ouverture d'un interrupteur), il ne passe pas instantanément à son nouvel état : condensateurs et bobines stockent de l'énergie, et l'énergie ne peut pas changer instantanément. Le circuit traverse un régime transitoire avant d'atteindre le régime permanent. Sa durée est fixée par les constantes de temps du circuit ; sa forme (montée douce ou oscillations) dépend de la présence simultanée d'une bobine et d'un condensateur.
Circuit
Équation
Temps caractéristique
Comportement
RC
RC·du/dt + u = E
τ = R·C
montée exponentielle, sans dépassement
RL
(L/R)·di/dt + i = E/R
τ = L/R
montée exponentielle, sans dépassement
RLC série
LC·u″ + RC·u′ + u = E
T₀ = 2π√(LC), τ = 2L/R
oscillations amorties ou montée lente selon R
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Réponse d'un circuit à une mise sous tensionUne seule courbe pour le RC et le RL
À l'instant t = 0, on applique brusquement une tension constante E : c'est un échelon. Dans un circuit RC, la tension du condensateur monte vers E ; dans un circuit RL, le courant monte vers E/R. Les deux obéissent à la même équation du premier ordre et suivent la même exponentielle, avec leur propre constante de temps. Ramenés à la même échelle (grandeur divisée par sa valeur finale, temps divisé par τ), ils se superposent exactement.
x(t) = xfinal·(1 − e−t/τ) 63,2 % à t = τ temps de montée 10 %→90 % : τ·ln 9 ≈ 2,197τ 99 % à τ·ln 100 ≈ 4,6τ
Tension du condensateur (RC, bleu) et courant de la bobine (RL, orange) en fonction du temps réel, après la fermeture de l'interrupteur à t = 0. Calcul pas à pas.Les mêmes courbes, en grandeur réduite x/xfinal et en temps réduit t/τ : elles tombent l'une sur l'autre, et sur l'exponentielle théorique (vert pointillé). Repères : 10 %, 63,2 %, 90 %.
τRC = RC · τRL = L/R—
Temps de montée 10→90 % mesuré / τ (RC · RL)—
Valeur théorique ln 9—
Plus grand écart entre les deux courbes réduites—
Le temps se mesure en τ. Quel que soit le circuit, le régime transitoire du premier ordre dure « quelques τ » : on considère en pratique qu'il est terminé au bout de 5τ (99,3 %). Le temps de montée de 10 % à 90 %, mesuré sur les courbes calculées, vaut exactement τ·ln 9 pour les deux circuits. Augmenter R accélère le RL (τ = L/R diminue) mais ralentit le RC (τ = RC augmente) : les deux circuits réagissent en sens contraire à la résistance.
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Circuits RC, RL et RLC : les trois régimesQuand bobine et condensateur sont réunis
Dans un circuit RLC série mis sous tension, l'énergie peut passer du condensateur à la bobine et revenir : la tension peut dépasser sa valeur finale et osciller autour. Tout dépend de la résistance comparée à la résistance critique Rc = 2√(L/C). Si R est petite, le régime est pseudo-périodique (oscillations amorties) ; si R = Rc, il est critique (le plus rapide sans dépassement) ; si R est grande, il est apériodique (montée lente, sans oscillation).
Tension du condensateur après la mise sous tension (E = 10 V). En gris pâle, les trois régimes de référence (ζ = 0,2 ; 1 ; 3). Bande verte : ±2 % autour de la valeur finale.Plan de phase : courant en fonction de la tension du condensateur. Le point part de l'origine et converge vers (E, 0) : en spirale si le régime est pseudo-périodique, directement sinon.
Régime · ζ = R/Rc—
Pseudo-période mesurée · 2π/ωd—
Dépassement mesuré · formule e−πζ/√(1−ζ²)—
Temps d'établissement à ±2 %—
Écart maximal calcul pas à pas / solution exacte—
Le régime critique est le plus rapide. En faisant varier R, on constate que le temps d'établissement à ±2 % est le plus court près du régime critique (un peu en dessous, car un léger dépassement inférieur à 2 % est toléré) : c'est le réglage recherché pour les aiguilles des appareils de mesure ou les suspensions de voiture. Le dépassement et la pseudo-période mesurés sur la courbe coïncident avec les formules. Sans condensateur ou sans bobine, on retrouverait les circuits RL et RC de la planche 1, qui ne dépassent jamais.
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Oscillations libres et amortissementUn condensateur chargé se vide dans une bobine
On charge le condensateur, puis on le relie à la bobine. Il se décharge, mais la bobine entretient le courant au-delà de la décharge complète : le condensateur se recharge en sens inverse, et ainsi de suite. Ce sont des oscillations libres, de période propre T₀ = 2π√(LC) (formule de Thomson, 1853). La résistance les amortit : l'amplitude décroît en exponentielle e−t/τ, avec τ = 2L/R. Le rapport entre deux maxima successifs est constant ; son logarithme est le décrément logarithmique δ.
Schéma animé : charges sur les armatures (+/−) et champ dans la bobine (cercles bleus, d'autant plus nombreux que le courant est fort). Temps ralenti environ 3 000 fois.Tension du condensateur (bleu), enveloppe exponentielle ±U₀e−t/τ (rouge pointillé) et maxima repérés (points orange) servant à mesurer le décrément.
Période propre T₀ = 2π√(LC) · pseudo-période Td mesurée—
Décrément δ mesuré (moyenne des maxima) · formule R·Td/(2L)—
Facteur de qualité Q · π/δ—
Oscillations visibles (amplitude > 5 %)—
Un pendule électrique. Le condensateur joue le rôle du ressort (il stocke l'énergie sous forme électrique), la bobine celui de la masse (elle s'oppose aux changements de courant comme l'inertie s'oppose aux changements de vitesse), la résistance celui des frottements. Sans résistance, l'oscillation est parfaite et dure indéfiniment. Avec R = 10 Ω, le facteur de qualité vaut 10 : on compte environ Q oscillations notables avant extinction. Le décrément mesuré sur les maxima du calcul coïncide avec R·Td/(2L) à la précision de la mesure.
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Échanges d'énergie entre condensateur et bobineOù est l'énergie à chaque instant ?
Pendant les oscillations libres, l'énergie se partage entre le condensateur (énergie électrique ½·C·u²) et la bobine (énergie magnétique ½·L·i²). Quand le condensateur est plein, le courant est nul ; quand le courant est maximal, le condensateur est vide. L'énergie fait donc la navette entre les deux, deux fois par période. À chaque passage, la résistance en prélève une partie, transformée en chaleur. La somme des trois reste exactement égale à l'énergie de départ.
½·C·u² + ½·L·i² + ∫R·i²dt = ½·C·U₀² énergie perdue par période ≈ 2π·W/Q
Trois réservoirs : condensateur (bleu), bobine (orange), chaleur dans la résistance (rouge). Leurs niveaux évoluent en direct ; la somme reste constante (trait vert).Énergies au cours du temps : WC (bleu), WL (orange), WC + WL (violet, qui décroît en marches), chaleur cumulée (rouge) et total (vert).
Énergie initiale ½CU₀² (U₀ = 10 V)—
Plus grand écart du total à l'énergie initiale—
Période des échanges d'énergie (mesurée) · T₀/2—
2π·W/(énergie perdue sur la 1re période) · Q—
Le facteur de qualité, c'est de l'énergie. On peut le définir par Q ≈ 2π × (énergie stockée) / (énergie perdue par période). Sur la première période, le calcul donne exactement 2π/(1 − e−2δ), qui se rapproche de Q quand l'amortissement est faible (103,2 contre 100 pour R = 1 Ω, mais 23,3 contre 20 pour R = 5 Ω). La somme électrique + magnétique ne décroît pas régulièrement mais en marches : la résistance ne prélève de l'énergie que lorsque le courant passe, c'est-à-dire quand l'énergie est dans la bobine. Le bilan, intégré pas à pas, tombe juste à quelques 10⁻¹¹ près.
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Signature : la résonance électriqueEntretenir les oscillations au bon rythme
Alimentons maintenant le circuit RLC par une tension sinusoïdale de fréquence f. Après un régime transitoire, le courant oscille à la fréquence imposée, avec une amplitude qui dépend de f. Elle est maximale quand f égale la fréquence propre f₀ : c'est la résonance. Plus la résistance est faible, plus le pic est haut et étroit : sa largeur à mi-puissance (la bande passante) vaut f₀/Q. À la résonance, la tension aux bornes du condensateur peut dépasser largement celle du générateur : c'est la surtension, égale à Q fois la tension d'entrée.
I = U / √(R² + (Lω − 1/(Cω))²) résonance à f₀ = 1/(2π√(LC)) Δf = f₀/Q UC(f₀) = Q·U
Amplitude du courant en fonction de la fréquence (échelle logarithmique), pour U = 1 V. Points : chaque point est une simulation complète, menée jusqu'au régime permanent. Courbe : formule. Bande verte : bande passante mesurée (à Imax/√2). En dessous : déphasage du courant par rapport à la tension.
Fréquence propre f₀ · facteur de qualité Q—
Bande passante mesurée par simulation · f₀/Q—
Courant à f₀ : simulation · U/R—
Surtension UC à f₀ : simulation · Q·U—
Tension du générateur (gris, amplitude 1 V) et tension du condensateur (bleu) à partir de la mise en route. Rouge : enveloppe prévue. Comme une balançoire poussée au bon rythme, l'amplitude grandit d'abord, puis se stabilise quand l'énergie apportée à chaque période égale l'énergie perdue.
Amplitude finale de uC : simulation · formule—
Temps pour atteindre 90 % de l'amplitude finale (à f₀) · τ·ln 10—
Choisir une fréquence parmi toutes les autres. Chaque point de la courbe est obtenu par une simulation indépendante, et l'ensemble retrouve la formule ; la bande passante, mesurée en cherchant par dichotomie les fréquences où le courant tombe à Imax/√2, vaut f₀/Q. C'est ainsi qu'un récepteur radio s'accorde sur une station : on règle la capacité pour amener f₀ sur la fréquence voulue, et le circuit n'amplifie qu'elle. Avec R = 10 Ω, la tension du condensateur atteint dix fois celle du générateur : une surtension qui peut détruire un condensateur mal choisi. Hors résonance, la tension présente des battements entre la fréquence imposée et la fréquence propre, avant de se stabiliser.
∑
RécapitulatifRepères historiques et synthèse
1842 Joseph Henry observe que la décharge d'une bouteille de Leyde est oscillante.
1853 William Thomson (Lord Kelvin) calcule la période T₀ = 2π√(LC) (planche 3).
1857 Feddersen photographie l'étincelle oscillante avec un miroir tournant.
1887-1888 Hertz utilise des circuits oscillants pour produire et détecter les ondes électromagnétiques (planche 5).
1898 Oliver Lodge brevette l'accord des circuits par résonance (la « syntonie »).
1906-1920 Les postes de radio s'accordent avec un condensateur variable (planche 5).
Premier ordre
RC et RL : montée exponentielle de constante τ = RC ou L/R ; régime établi en environ 5τ ; jamais de dépassement.
Second ordre
RLC : selon R/Rc, régime pseudo-périodique, critique ou apériodique. Oscillations libres de période 2π√(LC), amorties en e−Rt/2L.
Énergie et résonance
L'énergie fait la navette entre ½Cu² et ½Li². En régime forcé, le courant est maximal à f₀ ; la bande passante vaut f₀/Q et la surtension Q·U.
Pour aller plus loin
La page sur les condensateurs détaille le circuit RC ; celle sur l'induction, le circuit RL et l'étincelle de rupture ; la page sur l'électrocinétique présente le filtre passe-bas et la radio ; la page sur la transformée de Laplace résout ces mêmes équations en passant par les pôles dans le plan complexe.
Méthodes : toutes les courbes sont calculées pas à pas (Runge-Kutta d'ordre 4) puis comparées aux solutions exactes ; les maxima sont localisés par interpolation parabolique ; la bande passante est obtenue par dichotomie sur des simulations menées jusqu'au régime permanent. Composants idéaux (résistance de la bobine incluse dans R).