Un courant crée un champ magnétique ; un champ magnétique pousse les charges en mouvement et les fils parcourus par un courant. De ces deux faits découlent l'électroaimant, le haut-parleur et le moteur électrique. Tous les champs de cette page sont calculés par la loi de Biot et Savart, et confrontés aux formules classiques.
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Deux lois, une même interactionAvant de commencer
En 1820, Hans Christian Ørsted remarque qu'une boussole dévie près d'un fil parcouru par un courant : les courants créent des champs magnétiques. Quelques semaines plus tard, Ampère montre que deux fils parcourus par des courants s'attirent ou se repoussent : les champs magnétiques exercent des forces sur les courants. Le champ magnétique B se mesure en teslas (T) ; celui de la Terre vaut environ 47 µT en France, celui d'un aimant de frigo une dizaine de millitesla, celui d'un IRM 1,5 à 3 T.
Situation
Formule
Planche
Champ d'un fil rectiligne infini
B = μ₀·I / (2π·r)
1, 2
Champ au centre d'une spire de rayon R
B = μ₀·I / (2R)
2
Champ à l'intérieur d'un long solénoïde
B = μ₀·n·I (n spires par mètre)
2
Force sur une charge q de vitesse v (Lorentz)
F = q·v ∧ B
3
Force sur un fil de longueur L (Laplace)
F = I·L ∧ B
4, 5
μ₀ ≈ 4π·10⁻⁷ T·m/A est la perméabilité magnétique du vide. Le symbole ∧ désigne le produit vectoriel : la force est perpendiculaire à la fois à la vitesse (ou au fil) et au champ.
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Le champ magnétique créé par un courantL'expérience d'Ørsted, refaite
Autour d'un fil parcouru par un courant, les lignes de champ sont des cercles centrés sur le fil. Leur sens est donné par la règle de la main droite : le pouce dans le sens du courant, les doigts s'enroulent dans le sens du champ. L'intensité est proportionnelle au courant et diminue comme l'inverse de la distance. Une boussole posée près du fil s'oriente selon la somme du champ du fil et du champ terrestre.
loi de Biot et Savart : dB = (μ₀/4π)·I·dl ∧ u / r² fil infini : B = μ₀·I / (2π·r)
Vue de dessus. Le fil est vertical, perpendiculaire à l'écran (⊙ : courant vers vous, ⊗ : vers l'écran). La composante horizontale du champ terrestre (20 µT) pointe vers le haut de la figure (nord). Les aiguilles tournent jusqu'à leur équilibre. Cliquez pour poser la boussole témoin (rouge).Champ du fil en fonction de la distance (échelles logarithmiques). Bleu : intégration numérique de Biot et Savart sur un fil de longueur finie ; rouge pointillé : formule du fil infini ; gris : champ terrestre.
Distance de la boussole témoin—
Champ du fil : Biot-Savart (fil fini) · formule (fil infini)—
Formule exacte du fil fini : écart à l'intégration—
Déviation de la boussole (par rapport au nord)—
Plus près, plus fort. À 1 cm d'un fil parcouru par 10 A, le champ vaut 200 µT, dix fois la composante horizontale du champ terrestre : la boussole s'aligne presque sur le cercle. À 20 cm, il ne vaut plus que 10 µT, la moitié du champ terrestre horizontal, et la boussole ne dévie plus que d'environ 27°. L'intégration numérique de Biot et Savart (4 000 tranches) rejoint la formule du fil infini dès que le fil est long devant la distance, et retrouve la formule exacte du fil fini, μ₀I/(4πr)·(sin α₂ − sin α₁), à 10⁻¹⁰ près.
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Champs d'un fil, d'une spire, d'une bobine et d'un solénoïdeEnrouler le fil pour concentrer le champ
En courbant le fil en une spire, toutes les contributions s'ajoutent au centre dans le même sens. En empilant N spires, on obtient une bobine (plate) ou un solénoïde (long) : le champ est N fois plus fort. À l'intérieur d'un long solénoïde, le champ est presque uniforme ; à l'extérieur, il ressemble à celui d'un aimant droit, avec une face nord (d'où sortent les lignes) et une face sud.
spire, sur l'axe : B(x) = μ₀·I·R² / (2·(R² + x²)3/2) solénoïde fini, au centre : B = μ₀·n·I·L / √(L² + 4R²)
Coupe par un plan contenant l'axe. Chaque spire traverse ce plan en deux points (⊙ et ⊗). Couleur : intensité du champ (échelle logarithmique) ; traits bleus : lignes de champ ; flèches : sens. Champ calculé en chaque point par Biot et Savart (spires découpées en 96 segments).
Champ au centre (Biot-Savart numérique, pour I = 1 A, R = 2 cm)—
Formule exacte pour cette configuration · écart—
Solénoïde : formule « infini » μ₀nI · rapport—
Uniformité : champ à mi-chemin du bord / champ au centre—
Le solénoïde, un aimant que l'on commande. Plus il est long devant son rayon, plus son champ intérieur est uniforme et proche de μ₀nI ; à son extrémité il ne vaut plus que la moitié. On l'allume, l'éteint ou l'inverse en agissant sur le courant : c'est l'électroaimant des relais, des serrures, des grues de ferrailleur et des IRM. La formule exacte du centre, pour des spires discrètes, est la somme des formules de chaque spire sur l'axe. Le calcul numérique s'en écarte de 3,6·10⁻⁴ pour une spire : c'est exactement l'écart d'un polygone à 96 côtés au cercle, n·tan(π/n)/π − 1, et non une erreur d'intégration (pour les deux fils, sans découpage, l'écart tombe à 10⁻¹⁶).
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Action d'un champ magnétique sur des charges : la force de LorentzUne force qui dévie sans jamais accélérer
Une charge q qui se déplace à la vitesse v dans un champ B subit une force perpendiculaire à sa vitesse : elle courbe la trajectoire sans changer la vitesse, donc sans fournir d'énergie. Dans un champ uniforme, la particule décrit un cercle, dont le rayon grandit avec la vitesse mais dont la période ne dépend pas de la vitesse : c'est le principe du cyclotron. Avec en plus un champ électrique perpendiculaire, la particule « dérive » à la vitesse E/B, quelle que soit sa charge.
F = q·(E + v ∧ B) rayon r = m·v/(|q|·B) période T = 2π·m/(|q|·B) dérive vd = E/B
Le champ B est perpendiculaire à l'écran, dirigé vers vous (points). Particule lancée vers la droite depuis le centre. Flèche rouge : force de Lorentz ; flèche bleue : vitesse. Intégration par la méthode de Boris, qui conserve exactement la vitesse dans un champ magnétique pur.
Rayon mesuré sur la trajectoire · formule—
Période mesurée · formule 2πm/(qB)—
Variation relative de la vitesse (E = 0)—
Vitesse de dérive mesurée · E/B—
Le champ magnétique ne travaille pas. La force étant toujours perpendiculaire au déplacement, son travail est nul : la vitesse reste constante (la méthode de Boris la conserve à 10⁻¹⁵ près). Le rayon mesuré sur la trajectoire retrouve m·v/(qB), et la période ne dépend pas de la vitesse : doublez v, le cercle double, la durée d'un tour reste la même. L'électron, 1 836 fois plus léger et de charge opposée, tourne en sens inverse sur un cercle bien plus petit. C'est ainsi que les aurores polaires guident les particules solaires le long des lignes de champ terrestre, et que les spectromètres de masse trient les ions.
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Action sur des conducteurs : la force de LaplaceLa force de Lorentz, additionnée sur tous les électrons d'un fil
Dans un fil parcouru par un courant et placé dans un champ magnétique, chaque électron en mouvement subit la force de Lorentz ; ils la transmettent au métal. Le fil entier subit la force de Laplace, perpendiculaire au fil et au champ, proportionnelle à l'intensité, à la longueur et au champ. Deux fils parcourus par des courants s'attirent s'ils sont de même sens, se repoussent sinon : chacun est plongé dans le champ de l'autre.
F = I·L·B·sin α deux fils parallèles : F/L = μ₀·I₁·I₂ / (2π·d)
Vue de dessus : une tige de cuivre de 50 g roule sans frottement sur deux rails distants de 10 cm, dans un champ vertical (points : vers vous ; croix : vers l'écran). Un générateur de courant impose l'intensité. Flèche rouge : force de Laplace.
Force F = I·L·B—
Accélération prévue F/m—
Accélération mesurée (régression de x(t)) · écart—
Deux fils parallèles de 1 m vus de côté. Le fil 2 est découpé en 200 tronçons ; sur chacun on calcule le champ créé par le fil 1 (Biot-Savart) puis la force de Laplace, et on additionne.
Force totale sur le fil 2 (somme des tronçons)—
Formule des fils infinis μ₀I₁I₂L/(2πd) · rapport—
Nature—
La règle des trois doigts. Inverser le courant ou le champ inverse la force ; inverser les deux la laisse inchangée. La tige accélère uniformément, et la régression de sa position retrouve F/m. Pour les fils parallèles, la somme des forces sur les tronçons rejoint la formule des fils infinis quand ils sont longs devant leur écartement. C'est précisément cette force, 2·10⁻⁷ N par mètre pour deux fils à 1 m parcourus par 1 A, qui a défini l'ampère de 1948 à 2019.
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Signature : le principe du moteur électriqueFaire tourner une bobine avec la force de Laplace
Une bobine rectangulaire de N spires, parcourue par un courant I, est placée entre les pôles d'un aimant. Sur ses deux côtés, les forces de Laplace sont opposées et forment un couple qui la fait tourner. Mais après un demi-tour, ce couple changerait de sens et la bobine s'arrêterait en oscillant. Le collecteur inverse le courant à chaque demi-tour : le couple garde le même sens et la rotation continue. En tournant, la bobine produit aussi une force contre-électromotrice qui limite le courant : le moteur trouve seul sa vitesse d'équilibre.
couple : Γ = N·I·S·B·|sin θ| f.c.é.m. : e = N·S·B·ω·|sin θ| I = (U − e)/R J·dω/dt = Γ − Γcharge − f·ω
Vue de bout : la bobine (trait épais) tourne entre les pôles N et S. Les côtés de la bobine portent le sens du courant (⊙ / ⊗) et la force de Laplace (rouge). En bas, le collecteur à deux lames et ses balais. Rotation ralentie pour l'œil.En haut : couple moteur en fonction de l'angle (avec et sans collecteur). En bas : vitesse de rotation au cours du temps depuis le démarrage, et vitesse d'équilibre prévue (pointillé vert).
Le moteur se règle tout seul. Au démarrage, la bobine immobile ne produit aucune force contre-électromotrice : le courant est maximal, le couple aussi. À mesure qu'elle accélère, la f.c.é.m. grandit, le courant baisse, et la vitesse se stabilise là où le couple moteur moyen égale le couple résistant ; la formule tirée du couple moyen (2/π de la valeur maximale) la prédit à l'ondulation près. Sans collecteur, le couple change de signe à chaque demi-tour et le rotor reste bloqué. Plusieurs bobines décalées lissent le couple : c'est pourquoi les vrais moteurs ont un rotor à nombreuses encoches. Le bilan d'énergie, intégré pas à pas, tombe juste.
∑
RécapitulatifRepères historiques et synthèse
1820 Ørsted : un courant dévie une boussole (planche 1). Biot et Savart mesurent le champ d'un fil ; Ampère, la force entre deux courants (planche 4).
1820 Arago et Ampère aimantent du fer avec un solénoïde.
1821-1822 Faraday fait tourner un fil autour d'un aimant ; roue de Barlow : premiers moteurs (planche 5).
1825 William Sturgeon : premier électroaimant à noyau de fer (planche 2).
1834 Moritz Jacobi construit un moteur électrique à collecteur utilisable.
1892-1895 Lorentz énonce la force sur une charge en mouvement (planche 3).
1931 Lawrence construit le premier cyclotron.
Les courants créent des champs
Cercles autour d'un fil (B = μ₀I/2πr), champ concentré au centre d'une spire, uniforme dans un long solénoïde (B = μ₀nI). Règle de la main droite pour le sens.
Les champs agissent sur les charges
F = qv ∧ B : perpendiculaire à la vitesse, sans travail. Trajectoires circulaires de rayon mv/(qB), de période indépendante de la vitesse.
…et sur les courants
F = IL ∧ B sur un fil. Deux forces opposées sur une bobine forment un couple : avec un collecteur, c'est un moteur.
Pour aller plus loin
La page sur le magnétisme et ses applications présente les aimants et le champ terrestre ; la page sur le moteur et le transformateur détaille les moteurs industriels et l'induction ; la page sur les équations de Maxwell réunit champs électriques et magnétiques.
Méthodes et hypothèses : loi de Biot et Savart intégrée par segments rectilignes (contribution exacte de chaque segment) ; particule non relativiste intégrée par la méthode de Boris, unités réduites ; tige sans frottement alimentée par une source de courant idéale (sans induction) ; moteur à aimant permanent, bobine de 100 spires de 4 cm × 4 cm dans 0,25 T, résistance 2 Ω, inductance négligée, inertie 2·10⁻⁵ kg·m², frottement visqueux 10⁻⁵ N·m·s ; intégration par Runge-Kutta d'ordre 4.