Un champ magnétique qui varie fait naître une tension : c'est l'induction, découverte par Faraday en 1831. Elle explique le flux et les lois de Faraday et de Lenz, l'inertie électrique des bobines, l'énergie qu'elles stockent, le comportement d'un circuit RL, et le fonctionnement de l'alternateur et du transformateur.
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Ce qui compte, c'est le changementL'idée en une phrase
Un aimant immobile posé près d'une bobine ne produit rien. Mais si l'aimant bouge, si la bobine tourne, ou si le courant d'une bobine voisine varie, une tension apparaît aux bornes de la bobine : c'est la force électromotrice induite. Elle est d'autant plus grande que le champ qui traverse la bobine — son flux — varie vite. Et elle agit toujours de façon à s'opposer à la variation qui la fait naître (loi de Lenz). Une bobine résiste ainsi aux changements de son propre courant : c'est l'auto-induction.
Φ = B·S·cos θ e = −dΦ/dt bobine : Φ = L·i, u = L·di/dt W = ½·L·i²
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Le flux magnétiqueCombien de champ traverse une surface ?
Le flux magnétique Φ à travers une spire mesure la « quantité de champ » qui la traverse. Dans un champ uniforme, il vaut B·S·cos θ, où θ est l'angle entre le champ et la perpendiculaire à la spire : maximal quand la spire fait face au champ, nul quand elle est parallèle aux lignes. Il se mesure en webers (Wb = T·m²). Pour N spires, on multiplie par N. Dans un champ non uniforme, il faut additionner B·dS sur toute la surface : c'est une intégrale.
Φ = N·B·S·cos θ champ non uniforme : Φ = ∬ B·dS
Vue de côté : la spire (trait épais) et sa normale (violet) dans un champ uniforme horizontal. Les lignes de champ qui traversent la spire sont en bleu foncé : leur nombre est proportionnel au flux.
Flux à travers une spire de 10 cm × 10 cm—
Lignes traversantes / lignes à θ = 0—
Vue de dessus : un fil parcouru par 10 A et un cadre rectangulaire dans le même plan. Le champ du fil traverse le cadre (croix : vers l'écran), plus intense près du fil. On découpe le cadre en petits carrés et on additionne B·dS.
Flux par somme des B·dS—
Formule μ₀·I·a/(2π)·ln(b/c) · écart—
Un nombre qui résume tout le champ. Pour l'induction, ce n'est ni B ni S qui compte, mais leur combinaison Φ. On peut faire varier le flux de trois façons : changer B (approcher un aimant, faire varier un courant), changer S (déformer le circuit) ou changer θ (faire tourner la spire). Pour le champ non uniforme du fil, la somme des petits carrés converge vers la formule exacte, avec une erreur qui diminue comme le carré du pas (méthode du point milieu).
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Les lois de Faraday et de LenzLa tension induite et son sens
Loi de Faraday : la force électromotrice induite dans un circuit est égale à l'opposé de la vitesse de variation du flux qui le traverse. Loi de Lenz : le courant induit circule dans un sens tel qu'il crée un champ qui s'oppose à la variation du flux. Approcher le pôle nord d'un aimant d'une bobine fait apparaître une face nord sur la bobine, qui le repousse ; l'éloigner fait apparaître une face sud, qui le retient. L'induction freine toujours le mouvement qui la produit.
e = −dΦ/dt aimant (dipôle de moment m) sur l'axe d'une spire de rayon a : Φ(z) = μ₀·m·a² / (2·(a² + z²)3/2)
Un aimant (moment 1 A·m², pôle nord en tête) va et vient le long de l'axe d'une bobine de 200 spires de 2 cm de rayon, reliée à un galvanomètre. Flèches orange : sens du courant induit ; lettres N/S : face que présente la bobine à l'aimant.Flux à travers la bobine (violet, échelle propre) et tension induite (bleu) en fonction du temps. La tension s'annule quand le flux est extrême : c'est sa pente qui compte.
Position de l'aimant · flux—
Tension induite : −ΔΦ/Δt numérique · formule analytique—
Écart relatif maximal sur la course—
Tension crête · si l'on va deux fois plus vite—
Une tige de 50 g glisse sans frottement sur des rails distants de 10 cm, fermés par une résistance R, dans un champ vertical de 0,5 T. Lancée à 2 m/s, elle balaie une surface : le flux augmente, un courant apparaît, et la force de Laplace qu'il subit freine la tige (loi de Lenz). La vitesse décroît en exponentielle, et toute l'énergie cinétique finit en chaleur dans la résistance.
e = B·L·v I = e/R F = −B²L²v/R v(t) = v₀·e−t/τ, τ = m·R/(B²L²)
Vue de dessus des rails (champ vers l'écran : croix). Flèche bleue : vitesse ; rouge : force de freinage. Courant induit en orange. Courbe : vitesse au cours du temps.
Le signe moins, c'est Lenz. Quand l'aimant approche, le flux augmente et la bobine se comporte comme un aimant qui le repousse ; quand il s'éloigne, comme un aimant qui le retient. La tension calculée en dérivant numériquement le flux coïncide avec la formule analytique ; elle double si le mouvement est deux fois plus rapide. Sans ce signe, l'énergie se créerait d'elle-même : la tige accélérerait au lieu de freiner. C'est le principe des freins électromagnétiques des poids lourds et des montagnes russes.
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Auto-induction, inductance et énergie stockéeUne bobine s'oppose aux variations de son propre courant
Le courant d'une bobine crée un champ qui traverse… ses propres spires. Si le courant varie, ce flux varie, et la bobine se fait à elle-même une tension induite : c'est l'auto-induction. Le flux propre est proportionnel au courant, Φ = L·i : le coefficient L est l'inductance, en henrys (H). Pour l'établir, il faut fournir de l'énergie, qui reste stockée dans le champ magnétique : W = ½·L·i². C'est l'analogue de l'inertie : la bobine « résiste » aux variations du courant comme une masse résiste aux variations de vitesse.
u = L·di/dt long solénoïde : L = μ₀·N²·S/ℓ W = ½·L·i² = ∭ B²/(2μ₀) dV
En haut, la bobine à l'échelle (rayon, longueur, nombre de spires). En bas : on impose un courant triangulaire (orange) ; la tension aux bornes de la bobine (bleu) est un créneau, proportionnel à la pente du courant.
L par la formule du long solénoïde—
L par la formule de Wheeler (bords inclus)—
L exacte : somme des inductances mutuelles des spires—
Énergie ½LI² · densité B²/2μ₀ × volume—
Une inductance se calcule spire par spire. Chaque spire envoie un flux dans toutes les autres : l'inductance est la somme des inductances mutuelles de tous les couples de spires, données par la formule de Maxwell avec les intégrales elliptiques (calculées ici par la moyenne arithmético-géométrique), plus l'inductance propre de chaque spire. Pour une bobine longue et mince à spires jointives, cette somme rejoint μ₀N²S/ℓ ; pour une bobine courte, la formule simple surestime nettement L, alors que la formule empirique de Wheeler reste à quelques pour cent. Si les spires sont très espacées, chacune ajoute sa propre inductance et les deux formules sous-estiment L. L'énergie se lit aussi dans le champ : la densité B²/(2μ₀) multipliée par le volume intérieur redonne ½·L·I², avec le même écart que la formule du solénoïde infini. L'inductance croît comme N² : doubler le nombre de spires la multiplie par quatre.
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Établissement et interruption du courant dans un circuit RLLa constante de temps τ = L/R, et l'étincelle de rupture
À la fermeture de l'interrupteur, la bobine s'oppose à l'arrivée du courant : celui-ci monte progressivement vers E/R, en exponentielle de constante de temps τ = L/R. À l'ouverture, la bobine s'oppose à sa disparition : elle tente de maintenir le courant et sa tension monte autant qu'il le faut. Sans précaution, cette surtension provoque une étincelle aux bornes de l'interrupteur. On protège les circuits par une diode de roue libre qui offre un chemin au courant pendant qu'il s'éteint.
Générateur 12 V, interrupteur, résistance R et bobine L. À l'ouverture, le courant de la bobine continue de circuler dans R, soit en se refermant par la diode de roue libre (placée en parallèle sur l'ensemble R + L), soit, sans diode, par l'air ionisé de l'interrupteur (modélisé par 10 kΩ).Courant (bleu, échelle de gauche) et tension aux bornes de la bobine (rouge, échelle de droite). Pointillé vert : 63,2 % de E/R ; repère τ en abscisse.
τ = L/R · mesurée à 63,2 %—
Courant final E/R · atteint—
Pic de tension aux bornes de la bobine à l'ouverture—
Énergie ½LI₀² · énergie dissipée après l'ouverture—
Écart maximal calcul pas à pas / exponentielle exacte—
Une bobine n'aime pas les ruptures. Le courant ne peut pas varier instantanément dans une bobine (ce serait une tension infinie) : il met environ 5τ à s'établir. À l'ouverture sans diode, la bobine force son courant à traverser l'air : 12 V suffisent à produire une pointe de plusieurs milliers de volts ! C'est ainsi que fonctionne la bobine d'allumage d'une voiture, qui crée l'étincelle de la bougie. Avec la diode, la tension reste faible et l'énergie ½LI₀² stockée dans la bobine se dissipe doucement dans la résistance : le bilan tombe juste.
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Signature : l'alternateur et le transformateurProduire et adapter la tension alternative
Faire tourner une bobine dans un champ magnétique (ou un aimant devant une bobine fixe) fait varier son flux de façon sinusoïdale : c'est l'alternateur, qui produit presque toute l'électricité du monde. Envoyer ce courant alternatif dans une bobine enroulée sur un noyau de fer crée un flux variable qui traverse une seconde bobine : c'est le transformateur, qui change la tension dans le rapport des nombres de spires, sans pièce mobile et avec un rendement souvent supérieur à 98 %.
Φ(t) = N·B·S·cos(ωt) e(t) = N·B·S·ω·sin(ωt) avec une charge : Lb·di/dt = e − (Rb + R)·i
Une bobine de 200 spires (5 cm × 5 cm) tourne entre les pôles d'un aimant (0,4 T). Sa normale (violet) fait l'angle ωt avec le champ. Bagues et balais conduisent le courant vers la lampe.Sur deux périodes : flux (violet pointillé), tension induite e (bleu), courant dans la charge (orange). Plus la bobine de l'alternateur a d'inductance devant la résistance de la charge, plus le courant est en retard.
Tension crête N·B·S·ω · mesurée sur −dΦ/dt—
Courant crête : calcul pas à pas · formule E/√((R+Rb)² + (Lbω)²)—
Un noyau de fer fermé porte le primaire (N₁ spires, à gauche, relié au secteur 230 V, 50 Hz) et le secondaire (N₂ spires, à droite, relié à une charge). Le flux commun circule dans le noyau (flèches violettes).Tensions primaire (gris) et secondaire (bleu), courant secondaire (orange, échelle propre), en régime établi, calculés pas à pas sur le modèle à deux bobines couplées.
Rapport idéal N₂/N₁ · U₂ attendue—
U₂ efficace calculée · rapport U₂/U₁—
I₂ efficace · I₁ efficace · I₂/I₁ (idéal N₁/N₂ ; l'écart vient du courant magnétisant du primaire)—
Rendement P₂/P₁—
Bilan P₁ − P₂ − pertes Joule · contrôle par les nombres complexes—
Deux applications directes de la loi de Faraday. L'alternateur transforme une rotation en tension sinusoïdale ; sa tension crête N·B·S·ω est retrouvée en dérivant numériquement le flux, et le courant dans la charge suit la formule du circuit RL en régime sinusoïdal, avec son retard. Le transformateur redonne presque exactement le rapport des spires (1 150 / 60 : du secteur à environ 12 V) quand le couplage est bon ; un couplage imparfait (fuites de flux) et les résistances des fils font baisser la tension en charge. Comme il ne fonctionne qu'avec un flux variable, il n'existe pas de transformateur à courant continu : c'est la raison profonde du choix de l'alternatif pour les réseaux.
∑
RécapitulatifRepères historiques et synthèse
1831 Faraday découvre l'induction : une tension n'apparaît que lorsque le flux varie (planche 2). Il construit aussi un anneau de fer à deux enroulements, ancêtre du transformateur.
1832 Joseph Henry découvre indépendamment l'auto-induction ; l'unité d'inductance porte son nom (planche 3).
1832 Hippolyte Pixii construit le premier alternateur à manivelle (planche 5).
1834 Heinrich Lenz énonce la loi du sens du courant induit (planche 2).
1851 Bobine de Ruhmkorff : la rupture du courant produit de hautes tensions (planche 4).
1881-1885 Gaulard et Gibbs, puis Zipernowsky, Bláthy et Déri : transformateurs pratiques pour les réseaux.
1886 Stanley alimente une ville en alternatif à travers des transformateurs.
Flux et induction
Φ = N·B·S·cos θ, en webers. Une tension e = −dΦ/dt apparaît dès que le flux varie, et le courant induit s'oppose toujours à cette variation (Lenz).
Bobines
Φ = L·i et u = L·di/dt : la bobine s'oppose aux variations de courant. Elle stocke W = ½·L·i². Dans un circuit RL, le courant s'établit et s'éteint avec τ = L/R.
Applications
Alternateur : une bobine qui tourne produit e = NBSω·sin ωt. Transformateur : U₂/U₁ = N₂/N₁, uniquement en alternatif.
Pour aller plus loin
La page sur le magnétisme associé aux courants traite le champ d'un solénoïde et la force de Laplace ; la page sur le moteur et le transformateur détaille les machines industrielles ; la page sur les équations de Maxwell montre que la loi de Faraday y devient « rot E = −∂B/∂t » ; la page sur l'histoire de l'électricité raconte la guerre des courants.
Hypothèses des modèles : aimant assimilé à un dipôle magnétique ponctuel, bobine plate de section négligeable ; rails sans frottement, résistance des rails négligée ; inductance d'une spire μ₀a(ln(8a/r) − 7/4) (fil de rayon r, courant uniforme), inductances mutuelles par la formule de Maxwell ; diode de roue libre parfaite (chute de tension nulle) ; alternateur de résistance 2 Ω et d'inductance 20 mH ; transformateur sans pertes fer, inductance du primaire L₁ = AL·N₁² (AL = 40 µH par spire²), résistances d'enroulement proportionnelles au nombre de spires ; intégrations par Runge-Kutta d'ordre 4, sauf le transformateur (méthode implicite des trapèzes, nécessaire car le couplage presque parfait crée des constantes de temps très courtes), démarré au régime établi calculé par les nombres complexes.