Les filtres électroniques actifs : sélection et traitement des fréquences
Tout signal réel est un mélange de fréquences : la voix et le souffle, la mesure et le ronflement du secteur, le message et le bruit. Un filtre laisse passer certaines fréquences et en affaiblit d'autres. Associé à un amplificateur opérationnel, un simple réseau de résistances et de condensateurs devient un filtre précis, réglable, qui ne craint pas la charge qu'on lui branche. Cinq planches pour comprendre comment on choisit les fréquences qu'on garde.
Un filtre se décrit par sa fonction de transfert H(f) : pour une sinusoïde de fréquence f, la sortie est la même sinusoïde, multipliée par le gain |H(f)| et décalée du déphasage arg H(f). On trace le gain en décibels (20·log10|H|) en fonction de la fréquence sur une échelle logarithmique : c'est le diagramme de Bode. La fréquence de coupure est celle où le gain a perdu 3 dB, c'est-à-dire où l'amplitude est divisée par √2. Au-delà, un filtre d'ordre n atténue de 20·n dB par décade.
| Type | Laisse passer | Usage typique |
|---|---|---|
| Passe-bas | les fréquences inférieures à la coupure | enlever le bruit aigu, préparer un signal avant de l'échantillonner |
| Passe-haut | les fréquences supérieures à la coupure | supprimer une tension continue ou une dérive lente |
| Passe-bande | une bande autour d'une fréquence centrale | isoler une station radio, une voie d'égaliseur, une tonalité |
| Coupe-bande (réjecteur) | tout sauf une bande étroite | éliminer le ronflement à 50 Hz du secteur |
Pourquoi un filtre « actif » ?
Le filtre le plus simple est un circuit RC : la résistance R alimente un condensateur C, dont la tension est la sortie. Aux basses fréquences, le condensateur a le temps de se charger et la sortie suit l'entrée ; aux hautes fréquences, il n'en a plus le temps, et la sortie s'effondre. C'est un passe-bas du premier ordre, de coupure fc = 1/(2πRC). Mais branchons-lui une charge RL (l'entrée de l'étage suivant, un casque…) : elle détourne une partie du courant, le gain baisse et la coupure se déplace. Le filtre passif dépend de ce qu'on lui branche. Ajoutons un amplificateur opérationnel monté en non inverseur derrière le condensateur : il ne prélève aucun courant, fournit celui que demande la charge, et peut même amplifier. Le filtre actif garde sa réponse quelle que soit la charge.
Le second ordre : la cellule de Sallen et Key
Un premier ordre n'atténue que de 20 dB par décade, et sa coupure est molle. Mettre deux cellules RC à la suite double la pente, mais la coupure reste arrondie : deux cellules passives ne peuvent pas dépasser un facteur de qualité Q = 0,5. La cellule de Sallen et Key (1955) renvoie une partie de la sortie, par le condensateur C1, vers le milieu du réseau. Cette réaction positive dosée relève le gain juste avant la coupure. Avec deux résistances et deux condensateurs égaux et un amplificateur de gain K, le coude devient d'autant plus net que K approche de 3 : Q = 1/(3 − K). À Q = 0,707, le gain reste plat le plus longtemps possible (Butterworth) ; au-delà, une bosse de résonance apparaît, et la réponse à un échelon dépasse puis oscille.
Quatre filtres en un : le filtre à variables d'état
Trois amplificateurs opérationnels suffisent à fabriquer à la fois un passe-bas, un passe-haut, un passe-bande et un coupe-bande. Un sommateur calcule PH = entrée − PBd − PB ; deux intégrateurs à la suite (planche 3 du cahier sur les AOP) en tirent PBd puis PB. Chaque intégration affaiblit les hautes fréquences : la sortie du premier intégrateur est un passe-bande, celle du second un passe-bas, et celle du sommateur, qui reçoit ce que les autres ont laissé, un passe-haut. En additionnant passe-haut et passe-bas, on obtient un coupe-bande. Le réglage est indépendant : la constante de temps des intégrateurs fixe f0, la quantité de passe-bande ramenée au sommateur fixe Q. C'est le filtre de Kerwin, Huelsman et Newcomb (1967), au cœur de nombreux synthétiseurs.
Butterworth, Tchebychev, Bessel : choisir un compromis
Pour couper plus raide, on monte en ordre : un filtre d'ordre n s'obtient en mettant en cascade des cellules du second ordre, plus une cellule du premier ordre si n est impair. Tout l'art est de choisir les f0 et les Q de ces cellules. Trois recettes classiques répondent à trois exigences. Butterworth : le gain le plus plat possible dans la bande passante. Tchebychev : accepter une ondulation dans la bande pour couper plus raide. Bessel : retarder toutes les fréquences de la bande de la même durée, pour que la forme d'une impulsion soit respectée, au prix d'une coupure molle. Aucun filtre ne gagne sur tous les tableaux : la raideur de la coupure se paie en oscillations dans le temps.
Filtrer un vrai signal
Trois situations concrètes, trois filtres, et chaque fois la même question : que gagne-t-on, et que perd-on ? Un réjecteur supprime le ronflement du secteur sans toucher au signal utile ; un passe-bande sort une tonalité d'un bruit qui la couvre entièrement ; un passe-bas, placé avant un convertisseur, empêche des fréquences trop élevées de se déguiser en fréquences basses. Chaque résultat est mesuré sur une simulation et confronté à sa formule.
Un capteur de mesure biologique (électrocardiogramme, électroencéphalogramme) délivre quelques signaux lents, ici à 8 Hz et 23 Hz. Les fils captent le secteur à 50 Hz, qui couvre le signal. On filtre avec le coupe-bande de la planche 3 accordé sur 50 Hz. Plus son Q est élevé, plus l'encoche est étroite et moins le signal utile est déformé. Mais la fréquence du réseau varie légèrement, et une encoche trop étroite la manque. De plus, un filtre étroit met longtemps à s'établir : sa constante de temps vaut 2Q/(2πf0).
Une tonalité à 1 kHz, d'amplitude faible, est noyée dans un bruit blanc d'écart-type 1 V, dont la puissance se répartit uniformément sur toutes les fréquences jusqu'à 25 kHz (signal échantillonné à 50 kHz). Un passe-bande centré sur 1 kHz laisse passer la tonalité intacte mais ne garde du bruit que la part qui tombe dans sa bande. Pour un second ordre, cette bande équivalente de bruit vaut π·f0/(2Q). Le rapport signal sur bruit gagne donc 10·log10(Q·fe/(π·f0)) décibels.
Un convertisseur qui prélève fe = 8 000 échantillons par seconde (le téléphone numérique) ne peut représenter que les fréquences inférieures à fe/2 = 4 kHz : c'est la limite de Nyquist et Shannon. Une fréquence plus haute ne disparaît pas : ses échantillons sont exactement ceux d'une fréquence basse, |f − k·fe|. Elle se replie et devient un son parasite impossible à distinguer d'un vrai. Il faut donc l'éliminer avant l'échantillonnage, par un passe-bas analogique : le filtre anti-repliement, ici un Butterworth coupant à 3,4 kHz.
Repères historiques
- 1854Pafnouti Tchebychev étudie les polynômes qui s'écartent le moins possible de zéro ; ils serviront un siècle plus tard à dessiner des filtres.
- 1915George Campbell aux États-Unis et Karl Willy Wagner en Allemagne inventent indépendamment les filtres à bobines et condensateurs pour la téléphonie.
- 1928Harry Nyquist montre qu'il faut au moins deux échantillons par période de la plus haute fréquence ; Claude Shannon en donne en 1949 la démonstration complète.
- 1930Stephen Butterworth publie le filtre « maximalement plat » qui porte son nom.
- 1949W. E. Thomson décrit le filtre à retard maximalement plat, appelé filtre de Bessel.
- 1955R. P. Sallen et E. L. Key, au laboratoire Lincoln du MIT, publient leur méthode de filtres actifs RC.
- 1967Kerwin, Huelsman et Newcomb proposent le filtre à variables d'état.
- fin des années 1970Les filtres à capacités commutées intègrent sur une puce des filtres réglables par une horloge, sans résistance.
Ce qu'il faut retenir
Actif, donc indépendant
L'amplificateur opérationnel isole le réseau RC de sa charge et peut amplifier : la réponse ne dépend plus que de R et C. Il permet surtout la réaction positive dosée qui donne aux filtres un facteur de qualité supérieur à 0,5.f0 et Q
Une cellule du second ordre se résume à deux nombres : sa fréquence propre et son facteur de qualité. Le filtre à variables d'état en tire d'un coup passe-bas, passe-haut, passe-bande et coupe-bande, et un filtre d'ordre élevé n'est qu'une cascade de telles cellules.Rien n'est gratuit
Coupure raide contre oscillations, encoche étroite contre lenteur d'établissement, gain en rapport signal/bruit contre temps de réponse : un filtre est un compromis entre fréquence et temps. Avant tout échantillonnage, un passe-bas est indispensable.Pour aller plus loin : modèles et calculs de contrôle
Planche 1. AOP idéal. L'équation du circuit, C·dv/dt = (Ve − v)/R − v/RL pour le passif, sans le dernier terme pour l'actif, est intégrée par Runge-Kutta d'ordre 4 avec un pas inférieur au quart de la constante de temps. Gain et déphasage sont mesurés par transformée de Fourier sur deux périodes du régime établi, puis comparés à la fonction de transfert.
Planche 2. Le gain est obtenu en résolvant, pour chaque fréquence, les deux équations complexes des nœuds de la cellule, sans utiliser la formule de H ; la bosse est trouvée par balayage fin, la coupure par dichotomie. La réponse indicielle intègre les deux équations différentielles des condensateurs.
Planche 3. Le schéma-bloc (sommateur, deux intégrateurs) est simulé par Runge-Kutta d'ordre 4 avec 400 pas par période de f0 ; les amplitudes en sortie sont mesurées par transformée de Fourier aux trois fréquences du signal d'essai, après extinction du régime transitoire.
Planche 4. Pôles de Butterworth et de Tchebychev par leurs formules exactes ; pôles de Bessel par recherche des racines du polynôme de Bessel (méthode de Durand-Kerner), puis normalisation à −3 dB à fc. Les pôles sont regroupés par paires conjuguées en cellules du second ordre, dont la cascade est simulée pour la réponse indicielle. Pour Tchebychev, fc désigne la fin de la bande d'ondulation, où le gain vaut −r dB.
Planche 5. Réjecteur : filtre à variables d'état accordé sur 50 Hz, signal utile 0,6 V à 8 Hz et 0,3 V à 23 Hz, ronflement 1 V ; grâce à la linéarité, ronflement et signal utile sont simulés séparément. Passe-bande : bruit gaussien pseudo-aléatoire (graine fixe), constant sur chaque période d'échantillonnage ; l'écart-type mesuré fluctue de quelques pour cent selon la durée d'observation, d'autant plus que Q est grand. Anti-repliement : cascade de Butterworth intégrée avec au moins 32 pas par période du parasite, échantillonnée à 8 kHz après 30 ms d'établissement.