Sinusoïdes, valeurs efficaces, impédances, nombres complexes, puissances et facteur de puissance, jusqu'au triphasé qui alimente les réseaux et les moteurs. Les grandeurs calculées en nombres complexes sont toujours confrontées à une simulation pas à pas du circuit réel.
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Pourquoi la sinusoïde ?Avant de commencer
Le secteur délivre une tension sinusoïdale : c'est la forme naturelle produite par un alternateur qui tourne. Elle a une propriété précieuse : quand on l'applique à des résistances, des bobines et des condensateurs, tous les courants et toutes les tensions restent des sinusoïdes de même fréquence ; seules changent leur amplitude et leur phase (leur décalage dans le temps). Pour calculer un circuit, il suffit donc de suivre deux nombres par grandeur, que l'on réunit en un seul nombre complexe.
u(t) = Umax·sin(ωt + φ) ω = 2πf Ueff = Umax/√2 Z = Ueff/Ieff P = U·I·cos φ
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Signaux sinusoïdaux et valeurs efficacesAmplitude, fréquence, phase… et ce que mesure un voltmètre
Une sinusoïde est l'ombre d'un vecteur qui tourne à vitesse constante : sa longueur est l'amplitude Umax, sa vitesse de rotation la pulsation ω = 2πf (f est la fréquence, en hertz, nombre de tours par seconde), et son angle de départ la phase φ. Deux sinusoïdes de même fréquence décalées d'une durée Δt ont un déphasage φ = 2π·Δt/T. La valeur efficace est la valeur de la tension continue qui produirait le même échauffement dans une résistance : c'est la racine de la moyenne du carré. Les voltmètres et ampèremètres en mode alternatif l'affichent ; c'est elle que désigne le « 230 V » du secteur.
À gauche, les deux vecteurs tournants (de Fresnel) ; à droite, leurs projections au cours du temps : u₁ (bleu) et u₂ (orange). Leur somme (violet) est encore une sinusoïde de même fréquence, dont le vecteur est la somme des deux vecteurs. Temps ralenti.
Période T = 1/f · pulsation ω—
Valeur efficace de u₁ : intégrale (Simpson) · Umax/√2—
Déphasage mesuré par le décalage des passages à zéro—
Somme : amplitude mesurée · calcul vectoriel—
Valeur efficace de la somme : intégrale · formule—
Les amplitudes ne s'ajoutent pas, les vecteurs si. Deux tensions de 230 V efficaces décalées de 120° donnent une somme de 230 V, et non de 460 V : on additionne les vecteurs tournants, comme des flèches. La valeur efficace de la somme vaut √(U₁² + U₂² + 2U₁U₂cos φ)/√2, retrouvée ici par intégration numérique. Le secteur européen tourne à 50 tours par seconde (période 20 ms) avec une amplitude de 325 V, soit 230 V efficaces.
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Impédance et déphasageRésistance, bobine, condensateur face à une tension alternative
L'impédance Z d'un dipôle est le rapport des valeurs efficaces U/I, en ohms ; elle généralise la résistance. Une résistance a une impédance R, sans déphasage. Une bobine a une impédance Lω, qui augmente avec la fréquence, et le courant y est en retard d'un quart de période (90°) sur la tension. Un condensateur a une impédance 1/(Cω), qui diminue avec la fréquence, et le courant y est en avance de 90°. Dans un circuit RLC série, ces effets se combinent.
ZR = R ZL = Lω ZC = 1/(Cω) RLC série : Z = √(R² + (Lω − 1/(Cω))²), tan φ = (Lω − 1/(Cω))/R
Oscilloscope : tension u (bleu, 10 V efficaces) et courant i (orange, échelle propre) en régime établi. Pour le circuit RLC, ils sont calculés pas à pas sur deux périodes à partir de l'état initial prédit par le calcul complexe : si ce calcul était faux, un régime transitoire viendrait déformer les courbes. Flèche : décalage du courant.Mode XY de l'oscilloscope (courbe de Lissajous) : i en fonction de u. Une droite signifie « en phase », un cercle « en quadrature » ; le déphasage se lit sur l'ellipse : sin φ = b/a.
Impédance mesurée Ueff/Ieff · formule—
Déphasage de u sur i : mesuré (passages à zéro) · formule—
Déphasage lu sur l'ellipse arcsin(b/a)—
Comportement—
La fréquence change tout. Une bobine laisse passer les basses fréquences et bloque les hautes ; un condensateur fait l'inverse. Dans le RLC série, les deux effets se compensent à la fréquence de résonance 1/(2π√(LC)) : l'impédance se réduit à R et le déphasage s'annule. Au-dessous, le circuit est « capacitif » (courant en avance) ; au-dessus, « inductif » (courant en retard). Impédance et déphasage mesurés sur la simulation coïncident avec les formules.
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La représentation par les nombres complexesRemplacer les équations différentielles par des multiplications
On associe à chaque sinusoïde un nombre complexe (son « phaseur ») dont le module est la valeur efficace et l'argument la phase. Dériver revient alors à multiplier par jω. Chaque dipôle a une impédance complexe : R pour une résistance, jLω pour une bobine, 1/(jCω) pour un condensateur. Les lois d'Ohm et de Kirchhoff s'écrivent exactement comme en courant continu, avec des nombres complexes : en série, les impédances s'additionnent ; en parallèle, leurs inverses. (Les électriciens notent j le nombre imaginaire de carré −1, pour ne pas le confondre avec l'intensité i.)
u = U√2·sin(ωt + φ) ⟷ U = U·ejφZR = R, ZL = jLω, ZC = 1/(jCω) U = Z·I
Plan complexe : le courant I (orange) sert de référence horizontale. Les tensions UR (en phase), UL (90° en avance), UC (90° en retard) se mettent bout à bout : leur somme est U du générateur (bleu). Le tout tourne à la vitesse ω.
Circuit étudié : générateur 230 V – 50 Hz, résistance R en série avec une bobine L et un condensateur C placés en parallèle. Le calcul complexe donne les courants dans chaque branche, comparés à la simulation pas à pas.
Impédance complexe totale Z = R + (ZL ∥ ZC)—
Courant total : complexe · simulation—
Courants dans L et dans C : complexe · simulation—
Déphasage du courant total : complexe · simulation—
Loi des nœuds complexe |I − IL − IC|—
Un calcul de quelques lignes au lieu d'une équation différentielle. Le diagramme montre que la tension du générateur n'est pas la somme des valeurs efficaces des tensions partielles, mais leur somme vectorielle. Dans le circuit en parallèle, chaque branche peut porter un courant plus fort que le courant total : les courants dans L et C, de sens presque opposés, se compensent en partie (au voisinage de 1/(2π√(LC)), on parle de circuit « bouchon »). Le calcul complexe et la simulation du circuit réel s'accordent sur tous les chiffres affichés.
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Puissances active, réactive et apparente ; facteur de puissanceCe qui est consommé, et ce qui fait seulement l'aller-retour
La puissance instantanée p(t) = u(t)·i(t) oscille au double de la fréquence. Sa moyenne est la puissance active P = U·I·cos φ (en watts) : celle qui chauffe, éclaire ou fait tourner. Quand le courant est déphasé, une partie de l'énergie va et vient entre le réseau et les bobines ou condensateurs sans être consommée : c'est la puissance réactive Q = U·I·sin φ (en voltampères réactifs, var). Le produit U·I est la puissance apparente S (en voltampères, VA), qui dimensionne les câbles. Le rapport P/S = cos φ est le facteur de puissance.
P = U·I·cos φ Q = U·I·sin φ S = U·I = √(P² + Q²) facteur de puissance k = P/S = cos φ
Tension (bleu), courant (orange) et puissance instantanée p = u·i (rouge, aire colorée). Quand p est négative, l'énergie revient vers le réseau. La moyenne de p (trait vert) est P.Triangle des puissances : P horizontal, Q vertical, S l'hypoténuse. En pointillé, le triangle après compensation par un condensateur en parallèle sur la charge.
P : moyenne de u·i (Simpson) · U·I·cos φ—
Q · S · √(P² + Q²) − S—
Courant de ligne : charge seule · avec compensation—
Facteur de puissance obtenu—
Pertes dans une ligne de 0,5 Ω : avant · après—
Un mauvais facteur de puissance coûte cher sans rien produire. Pour la même puissance utile, un moteur de facteur de puissance 0,7 tire 43 % de courant en plus qu'une résistance pure : câbles, transformateurs et pertes en ligne doivent être dimensionnés en conséquence. C'est pourquoi les distributeurs d'électricité facturent l'énergie réactive aux industriels, qui installent des batteries de condensateurs : le condensateur fournit sur place l'énergie réactive que la bobine du moteur réclame. La compensation ne change pas P, mais réduit Q, S et le courant.
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Signature : introduction au courant triphaséTrois sinusoïdes décalées d'un tiers de période
Un alternateur à trois bobinages placés à 120° l'un de l'autre produit trois tensions de même amplitude, décalées d'un tiers de période : c'est le triphasé, utilisé par tous les grands réseaux. Entre une phase et le neutre, on mesure la tension simple V (230 V) ; entre deux phases, la tension composée U = √3·V (400 V). Trois avantages : on transporte la même puissance avec moins de cuivre, la puissance totale est constante (pas de vibration dans les machines), et trois bobines alimentées en triphasé créent un champ magnétique tournant, qui fait tourner les moteurs sans collecteur.
À gauche, les trois vecteurs des tensions simples (rouge, orange, violet) et une tension composée u₁₂ = v₁ − v₂ (bleu). À droite, les trois sinusoïdes, la tension composée et la somme v₁ + v₂ + v₃ (vert, toujours nulle).
Tension simple efficace V—
Tension composée efficace : intégrale · √3·V—
Plus grande valeur de |v₁ + v₂ + v₃|—
Avance de u₁₂ sur v₁ (mesurée)—
Trois récepteurs sont branchés entre chaque phase et le neutre (montage en étoile). Si les trois sont identiques (charge équilibrée), les trois courants s'annulent dans le fil de neutre et la puissance totale ne varie pas dans le temps. Sinon, un courant circule dans le neutre.
Diagramme des courants : I₁, I₂, I₃ et leur somme, le courant de neutre Iₙ (vert).Puissances instantanées des trois phases (couleurs) et puissance totale (noir) sur deux périodes.
Courants efficaces I₁ · I₂ · I₃—
Courant de neutre : complexe · simulation—
Puissance totale moyenne · ondulation (max − min)—
Trois bobines identiques, placées à 120° autour d'un axe, sont parcourues par les trois courants du triphasé. Chacune crée un champ qui pulse le long de son axe ; leur somme est un champ d'intensité constante qui tourne à la fréquence du réseau (théorème de Ferraris, 1885). Un rotor aimanté, ou un simple cylindre métallique, est entraîné : c'est le principe du moteur synchrone et du moteur asynchrone, les plus répandus au monde.
Les trois bobines et leurs champs pulsants (couleurs), et le champ total (flèche noire épaisse), dont l'extrémité décrit un cercle. Inverser deux phases inverse le sens de rotation. Si une phase est coupée, les deux bobines restantes sont parcourues par le même courant : le champ ne fait plus qu'osciller selon une direction fixe.
Intensité du champ total : min · max (en unité B₀ d'une bobine)—
Valeur théorique (3/2)·B₀—
Sens de rotation—
Trois fils qui valent mieux que six. Avec trois phases équilibrées, les courants retour s'annulent : le neutre ne porte rien, et trois fils (plus un neutre fin) transportent autant que trois circuits monophasés indépendants qui en demanderaient six. La tension composée vaut exactement √3 fois la tension simple, d'où les 400 V entre phases du réseau domestique triphasé. La puissance totale d'une charge équilibrée est rigoureusement constante (ondulation nulle à la précision du calcul) : les alternateurs et les moteurs tournent sans à-coups. Et le champ tournant garde une intensité constante de 1,5 fois celle d'une bobine ; si une phase manque, il ne fait plus qu'osciller selon une direction fixe, entre 0 et √3 fois B₀, et un moteur à l'arrêt ne peut plus démarrer.
∑
RécapitulatifRepères historiques et synthèse
1832 Pixii : le premier alternateur produit un courant alternatif.
1885 Galileo Ferraris découvre le champ tournant (planche 5).
1886 Oliver Heaviside forge le mot « impédance » (planche 2) ; Arthur Kennelly en donne la forme complexe en 1893.
1888 Nikola Tesla brevette le moteur à induction polyphasé.
1891 Ligne triphasée Lauffen–Francfort, 175 km (planche 5).
1893 Charles Steinmetz introduit les nombres complexes dans le calcul des circuits alternatifs (planche 3).
1983 La norme CEI 60038 fixe la basse tension européenne à 230/400 V, 50 Hz, adoptée progressivement ensuite.
Sinusoïdes
Amplitude, fréquence, phase ; valeur efficace Umax/√2. Les sinusoïdes de même fréquence s'additionnent comme des vecteurs tournants.
Impédances complexes
R, jLω, 1/(jCω) : on calcule les circuits alternatifs avec les lois du continu, en nombres complexes. Module = rapport des valeurs efficaces, argument = déphasage.
Puissances et triphasé
P = UI cos φ, Q = UI sin φ, S = UI. Le triphasé (230/400 V) transporte l'énergie à puissance constante et crée le champ tournant des moteurs.
Pour aller plus loin
La page sur les régimes transitoires et les oscillations traite la résonance du circuit RLC ; la page sur l'induction présente l'alternateur et le transformateur ; la page sur l'histoire de l'électricité raconte la guerre des courants et l'équilibre du réseau.
Méthodes : chaque grandeur complexe est vérifiée par une simulation pas à pas (Runge-Kutta d'ordre 4) du circuit réel : en planches 2 et 3, la simulation part de l'état donné par les phaseurs et se poursuit sur deux périodes (toute erreur de calcul ferait apparaître un régime transitoire), avec mesure des amplitudes par interpolation parabolique des maxima et des phases par interpolation des passages à zéro ; valeurs efficaces et moyennes calculées par la méthode de Simpson. Composants idéaux ; charge de la planche 4 modélisée par une résistance et une inductance en série.