Conversion analogique-numérique et numérique-analogique : échantillonnage, quantification et restitution des signaux

Une suite d'échantillons ne dit rien de ce qui se passe entre eux. Pourtant, si le signal ne contient aucune fréquence supérieure à f_e/2, la fréquence de Nyquist, une seule courbe passe par tous les points avec cette contrainte : on peut la reconstruire exactement, en remplaçant chaque échantillon par une fonction sinus cardinal, sin(πx)/(πx), et en les additionnant (formule de Whittaker et Shannon). Au-delà de f_e/2, l'ambiguïté apparaît : une sinusoïde de fréquence f a exactement les mêmes échantillons qu'une sinusoïde de fréquence |f − k·f_e|. Le convertisseur ne peut pas les distinguer, et la reconstruction produit la fréquence basse : c'est le repliement (aliasing). D'où le filtre passe-bas obligatoire avant tout échantillonnage.

Avec N bits, un convertisseur dispose de 2^N niveaux, espacés du pas de quantification q (le « LSB »). Chaque échantillon est arrondi au niveau le plus proche : l'erreur est comprise entre −q/2 et +q/2. Pour un signal assez riche, elle se comporte comme un bruit uniforme, de valeur efficace q/√12. Pour une sinusoïde qui occupe toute la plage, le rapport signal sur bruit vaut alors 6,02·N + 1,76 dB : chaque bit ajouté divise le bruit par deux. Mais si le signal est plus petit que le pas, il disparaît purement et simplement. On ajoute alors un faible bruit avant la conversion, le dither : l'erreur devient un vrai bruit, un peu plus fort, mais le signal survit, noyé dedans, et une moyenne le retrouve.

Le réseau R-2R n'utilise que deux valeurs de résistance. Vu de chaque nœud, ce qui se trouve en aval équivaut toujours à 2R : à chaque nœud, le courant se partage donc en deux moitiés égales. Chaque bit, en commutant sa résistance 2R entre la référence et la masse, apporte une contribution deux fois plus faible que le bit précédent, et la tension de sortie vaut exactement V_ref·code/2^N. Exactement, si les résistances sont parfaites. Avec des résistances réelles, la marche entre deux codes voisins n'est plus égale à un LSB : c'est la non-linéarité différentielle (DNL). Le pire cas est le passage de 0111…1 à 1000…0, où tous les bits changent : si l'erreur dépasse un LSB, la sortie peut même redescendre quand le code augmente.

Pour trouver un nombre entre 0 et 255, on demande d'abord « est-ce au moins 128 ? », puis, selon la réponse, « au moins 192 ? » ou « au moins 64 ? », et ainsi de suite : huit questions suffisent. Le CAN à approximations successives (SAR) fait exactement cela. Un registre propose un code, un CNA le transforme en tension, un comparateur dit si l'entrée est au-dessus ou au-dessous ; on garde ou on efface le bit, puis on passe au suivant. N bits demandent N cycles et un seul comparateur, là où le CAN flash en utilise 2^N − 1 pour répondre en un seul coup, et où le CAN à rampe compte patiemment jusqu'à 2^N.

Trois façons d'échanger de la vitesse contre de la précision, ou de la précision contre de la simplicité. Le CAN sigma-delta n'a qu'un comparateur à 1 bit, mais il tourne très vite et repousse son bruit hors de la bande utile. Le CNA par modulation de largeur d'impulsion se contente d'un signal carré et d'un filtre RC. Et tout CNA, en maintenant chaque valeur jusqu'à la suivante, déforme un peu le spectre qu'il restitue.