Deux plaques conductrices face à face, séparées par un isolant : de quoi stocker des charges, et donc de l'énergie. Capacité, relation Q = C·U, associations, énergie stockée, et le temps que met un condensateur à se charger dans un circuit RC.
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Un réservoir de chargesL'idée en une phrase
Un condensateur est formé de deux conducteurs, les armatures, séparés par un isolant, le diélectrique. Branché à un générateur, il ne laisse pas passer le courant de façon durable : des électrons s'accumulent sur une armature et quittent l'autre, qui devient positive. Le condensateur se charge, la tension à ses bornes monte, puis le courant cesse. Débranché, il garde sa charge et peut la rendre plus tard, d'un coup s'il le faut : c'est le principe du flash d'un appareil photo ou d'un défibrillateur.
Charge puis décharge d'un condensateur à travers une lampe : les électrons (bleu) s'accumulent sur l'armature reliée au − du générateur, puis repassent par la lampe quand l'interrupteur bascule. Aucun électron ne traverse l'isolant.
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Principe et capacité électriqueDe quoi dépend la quantité de charge qu'on peut stocker ?
La capacité C mesure l'aptitude d'un condensateur à stocker des charges sous une tension donnée. Elle se mesure en farads (F). Pour un condensateur plan, elle est proportionnelle à la surface S des armatures, inversement proportionnelle à leur écartement d, et multipliée par la permittivité relative εr de l'isolant : les molécules de l'isolant se polarisent, s'orientent dans le champ et en réduisent l'intensité, ce qui permet de stocker davantage de charges sous la même tension.
C = ε₀·εr·S / d ε₀ = 8,854·10⁻¹² F/m
Coupe d'un condensateur plan (deux bandes infiniment longues). Couleur : potentiel ; traits : équipotentielles ; bleu : lignes de champ. Calcul par relaxation de l'équation de Laplace. Entre les armatures, le champ est presque uniforme ; sur les bords, il déborde.
Capacité par mètre de longueur (calcul complet)—
Formule ε₀·largeur/d · rapport calcul/formule—
Formule de Palmer (bords inclus, d petit) · écart—
Itérations · plus grande correction—
Le diélectrique entre les armatures : chaque molécule (ellipse) se polarise et s'aligne sur le champ, d'autant plus que εr est grand. Les charges liées qui apparaissent sur les faces affaiblissent le champ intérieur.
Capacité C = ε₀εrS/d—
Surface nécessaire pour 1 F (même d, même isolant)—
Un farad, c'est énorme. Avec du vide entre les armatures et 1 mm d'écart, il faudrait une surface de 113 km² pour atteindre 1 farad : les condensateurs courants se comptent en picofarads, nanofarads ou microfarads. On les rend compacts en enroulant de fines feuilles, en réduisant l'écartement à quelques micromètres et en utilisant des isolants à forte permittivité (céramiques). Le calcul complet montre aussi que la formule simple est d'autant plus exacte que les armatures sont larges devant leur écartement : avec des armatures étroites, le champ qui déborde sur les bords ajoute de la capacité, et la formule de Palmer (1927), qui tient compte des bords, s'en approche à quelques pour cent quand l'écartement est petit (1,4 % pour d/largeur = 0,05) ; l'écart restant vient de la grille de calcul et du bord du domaine, relié à la masse, qui capte lui aussi des lignes de champ.
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Relation entre charge et tension : Q = C·UPlus on charge, plus la tension monte
La charge Q portée par l'armature positive (l'autre porte −Q) est proportionnelle à la tension U entre les armatures : c'est la définition même de la capacité. Pour la vérifier, on charge le condensateur avec un courant constant I : la charge augmente régulièrement (Q = I·t), et l'on observe que la tension monte en ligne droite. Le coefficient de proportionnalité est C.
Q = C·U (coulombs = farads × volts) à courant constant : U(t) = I·t / C
Une source de courant constant charge le condensateur. Chaque signe + ou − sur une armature représente le même nombre de charges élémentaires.Charge Q en fonction de la tension U mesurée (points relevés toutes les secondes, voltmètre imprécis de 0,5 %), et droite de régression dont la pente est la capacité.
Charge Q = I·t · tension U—
Électrons passés d'une armature à l'autre—
Capacité mesurée (pente de la droite)—
Écart à la vraie valeur—
Le condensateur, une « bouteille » électrique. Pour une même charge, un petit condensateur voit sa tension monter vite, un gros lentement : la capacité joue le rôle de la section d'un récipient qu'on remplit. Une tension trop élevée finit par percer l'isolant (tension de claquage) : c'est pourquoi chaque condensateur porte une tension maximale d'utilisation à côté de sa capacité.
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Associations de condensateursDes règles inversées par rapport aux résistances
En parallèle, les condensateurs ont la même tension et leurs charges s'ajoutent : tout se passe comme si les surfaces s'additionnaient, et les capacités s'ajoutent. En série, ils portent tous la même charge (ce qui quitte une armature arrive sur la suivante) et leurs tensions s'ajoutent : c'est comme si les écartements s'additionnaient, et ce sont les inverses des capacités qui s'ajoutent. Exactement l'inverse des résistances.
Générateur de 12 V et trois condensateurs initialement déchargés. Pour chacun : sa charge (nombre de signes, en microcoulombs) et sa tension.
Capacité équivalente (formule)—
Calcul par conservation des charges : écart—
Charges Q₁ · Q₂ · Q₃—
Tensions U₁ · U₂ · U₃—
Pourquoi associer ? En parallèle, on obtient une grande capacité à partir de petites : les batteries de condensateurs des onduleurs et des alimentations. En série, la capacité diminue mais la tension se répartit, chacun n'en supporte qu'une part (le plus petit condensateur prend la plus grande tension) : on peut ainsi dépasser la tension de claquage d'un seul. Le calcul de contrôle traite le montage comme un réseau où chaque nœud isolé garde une charge totale nulle ; il retrouve les formules à la précision de l'ordinateur.
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Stockage de l'énergie électriqueOù se cache l'énergie d'un condensateur chargé ?
Charger un condensateur demande un travail : chaque nouvelle charge doit être amenée contre la tension déjà présente, qui augmente au fur et à mesure. Ce travail est l'aire du triangle sous la droite U(Q), d'où un facteur ½. L'énergie est stockée dans le champ électrique entre les armatures. Les armatures s'attirent : pour les écarter, il faut fournir un travail mécanique, qu'on retrouve dans le bilan.
W = ½·Q·U = ½·C·U² = Q²/(2C) force entre les armatures : F = Q²/(2ε₀S)
U en fonction de Q pendant la charge : l'aire orange est l'énergie stockée. Elle est recalculée par intégration numérique.Condensateur plan de 100 cm², 1 mm d'air, chargé sous 1 000 V. On écarte l'armature mobile jusqu'à 2 mm : soit après l'avoir débranché (charge constante), soit en le laissant branché (tension constante).
Énergie stockée : formule ½CU² · aire (Simpson)—
Énergie du condensateur avant · après écartement—
Travail mécanique fourni (∫F dd) · énergie reçue par le générateur—
Bilan : travail + énergie du générateur − variation stockée—
Deux façons d'écarter, deux bilans. Débranché, la charge reste fixe, la tension monte, et l'énergie stockée augmente exactement du travail fourni pour séparer les armatures. Branché, la tension reste fixe, la capacité baisse, des charges retournent au générateur : l'énergie du condensateur diminue, et c'est le générateur qui reçoit à la fois cette diminution et le travail mécanique (il reçoit le double de la baisse). Le tableau compare quelques réserves d'énergie : un condensateur rend son énergie très vite (grande puissance), une batterie en stocke beaucoup plus.
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Signature : charge et décharge dans un circuit RCLa constante de temps τ = R·C
Branché à travers une résistance R, un condensateur ne se charge pas instantanément : au début, il est vide, le courant E/R est maximal ; à mesure qu'il se charge, sa tension s'oppose à celle du générateur et le courant faiblit. La tension monte en exponentielle, d'autant plus lentement que R et C sont grands. Le temps caractéristique est la constante de temps τ = R·C (en secondes, car des ohms fois des farads donnent des secondes).
charge : u(t) = E·(1 − e−t/τ) décharge : u(t) = U₀·e−t/τ τ = R·C à t = τ : 63 % ; à t = 5τ : 99,3 %
Tension du condensateur (bleu) calculée pas à pas. Rouge : tangente à l'origine, qui coupe la droite u = E à t = τ. Vert : niveau 63,2 %. Médaillon : ln(E − u) en fonction du temps, une droite de pente −1/τ.
τ = R·C (formule)—
τ mesuré au niveau 63,2 %—
τ par la tangente à l'origine—
τ par la pente de ln(E − u)—
Écart maximal calcul pas à pas / exponentielle exacte—
Le générateur délivre un signal carré qui bascule entre 0 et E. Si la période est longue devant τ, le condensateur a le temps de se charger et de se décharger complètement : sa tension reproduit les créneaux, arrondis. Si elle est courte, il n'a le temps que d'onduler autour de E/2 : le circuit RC « lisse » le signal (filtre passe-bas).
Signal du générateur (gris) et tension du condensateur (bleu) sur les dernières périodes, en régime établi.
Ondulation crête à crête mesurée—
Formule E·tanh(T/(4τ)) : écart—
Valeur moyenne de la tension—
Une minuterie d'escalier : un bouton charge instantanément un condensateur à E = 12 V, puis il se décharge dans une résistance. La lumière reste allumée tant que la tension dépasse un seuil Us. La durée d'éclairage se calcule en inversant l'exponentielle.
durée : t = τ·ln(E / Us)
Décharge (bleu), seuil (rouge pointillé) et lampe : allumée tant que u > Us. Le temps défile en accéléré.
Durée d'éclairage (formule)—
Durée mesurée sur le calcul pas à pas · écart—
Une seule échelle de temps. Les trois méthodes retrouvent τ = R·C : le niveau 63,2 % (1 − 1/e), la tangente à l'origine qui atteint E au bout de τ, et la pente de la droite ln(E − u). Au bout de 5τ, le condensateur est chargé à plus de 99 % : c'est la règle pratique des électroniciens. Les circuits RC sont partout : temporisations, filtres qui lissent une tension redressée, anti-rebonds des boutons, flashs. Leur réponse au signal carré obéit à une formule exacte, que le calcul retrouve en régime établi.
∑
RécapitulatifRepères historiques et synthèse
1745-1746 Bouteille de Leyde (Kleist, Musschenbroek) : le premier condensateur (planche 1).
1782 Volta parle de « condensatore » pour son électrophore condensateur.
1837 Faraday étudie les isolants et leur « pouvoir inducteur spécifique », notre permittivité (planche 1).
1861 L'unité de capacité est baptisée farad en son honneur.
1890-1930 Condensateurs au papier, au mica, électrolytiques : la radio en consomme des millions.
1957-1978 Supercondensateurs (double couche électrochimique), aujourd'hui jusqu'à des milliers de farads.
Capacité et Q = C·U
C = ε₀εrS/d pour un condensateur plan, en farads. La charge est proportionnelle à la tension : Q = C·U.
Associations et énergie
Parallèle : capacités qui s'ajoutent ; série : inverses qui s'ajoutent. Énergie stockée dans le champ : W = ½·C·U².
Circuit RC
Charge et décharge exponentielles de constante de temps τ = R·C : 63 % à τ, plus de 99 % à 5τ.
Pour aller plus loin
La page sur l'électrostatique traite le champ, le potentiel et les conducteurs à l'équilibre ; la page sur l'énergie et la puissance électriques montre que la charge d'un condensateur à travers une résistance dissipe toujours la moitié de l'énergie fournie ; la page sur l'électrocinétique étudie les circuits RL et RLC.
Hypothèses des modèles : planche 1, coupe bidimensionnelle (bandes infinies) résolue sur une grille de 201 × 141 points, potentiel nul sur le bord du domaine ; permittivités relatives de valeurs typiques ; condensateurs idéaux sans fuite ni résistance série ; intégration par Runge-Kutta d'ordre 4.