Lire un schéma, associer des dipôles en série ou en parallèle, appliquer les lois de Kirchhoff, diviser une tension ou un courant, et tenir compte de la résistance interne des sources. Chaque circuit est résolu par un petit solveur intégré à la page, et chaque loi est vérifiée sur la solution.
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Trois règles pour tout circuitAvant de commencer
Un circuit électrique est une boucle fermée où circulent des charges. Trois règles suffisent pour le comprendre entièrement. La loi d'Ohm (U = R·I) relie tension et courant dans chaque résistance. La loi des nœuds dit que le courant qui arrive à un carrefour en repart en totalité : la charge ne s'accumule pas. La loi des mailles dit que, sur toute boucle fermée, les tensions s'annulent : en revenant au point de départ, on retrouve le même potentiel. Le reste n'est que de la méthode.
Symboles normalisés des schémas électriques (norme européenne CEI) : le schéma ne dessine pas les objets, il représente leurs connexions.
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Générateurs, récepteurs et schémas électriquesQui fournit l'énergie, qui la reçoit ?
Un générateur (pile, batterie, alimentation) fournit de l'énergie électrique au circuit : le courant en sort par sa borne +. Un récepteur (lampe, résistance, moteur) reçoit cette énergie et la convertit en chaleur, lumière ou mouvement : le courant y entre par la borne au potentiel le plus élevé. Un moteur est un récepteur particulier : il oppose au courant une force contre-électromotrice E′, la part de tension qu'il transforme en travail mécanique.
Schéma : générateur (E, r), interrupteur, lampe R, moteur (E′, r′) et ampèremètre en série. Points bleus : sens conventionnel du courant (mouvement accéléré).Où va l'énergie fournie par la réaction chimique de la pile (E·I) : pertes dans la pile (r·I²), lampe (R·I²), pertes du moteur (r′·I²) et travail mécanique (E′·I).
Intensité I = (E − E′)/(r + R + r′)—
Tension aux bornes du générateur · lampe · moteur—
Puissance fournie au circuit · reçue par lampe + moteur—
Bilan (fournie − reçue)—
Conventions de signe. Pour le générateur, on oriente tension et courant en sens opposés (convention générateur) ; pour un récepteur, dans le même sens (convention récepteur). Avec ces conventions, P = U·I est positive pour les deux et le bilan tombe exactement à zéro : toute l'énergie fournie est reçue quelque part. Si E′ dépasse E, aucun courant ne peut faire tourner le moteur dans ce sens : le moteur est bloqué (ici le courant est alors nul).
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Associations en série et en parallèleRemplacer plusieurs résistances par une seule
Des dipôles sont en série quand ils sont traversés l'un après l'autre par le même courant : leurs tensions s'additionnent, leurs résistances aussi. Ils sont en parallèle (ou en dérivation) quand ils sont branchés entre les mêmes deux points : ils ont la même tension, leurs courants s'additionnent, et ce sont les inverses des résistances (les conductances) qui s'additionnent.
Générateur idéal de 12 V et trois lampes de résistances R₁, R₂, R₃. L'éclat de chaque lampe suit sa puissance ; l'épaisseur du trait bleu suit le courant de chaque branche.
Résistance équivalente (formule)—
Résolution du réseau (solveur) : écart—
Courant total—
Courants I₁ · I₂ · I₃—
Tensions U₁ · U₂ · U₃—
Deux comportements opposés. En série, la résistance équivalente dépasse la plus grande ; si une lampe grille, toutes s'éteignent (vieilles guirlandes). En parallèle, elle est inférieure à la plus petite ; chaque lampe reçoit toute la tension et fonctionne indépendamment : c'est le câblage des prises d'une maison. Ajouter un appareil en parallèle augmente le courant total tiré de la source, d'où les disjoncteurs.
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Lois des nœuds et des mailles de KirchhoffRésoudre un circuit qui ne se réduit pas à des séries et des parallèles
Gustav Kirchhoff (1845) a énoncé deux lois qui permettent de résoudre n'importe quel circuit. Loi des nœuds : en un nœud (un point où se rejoignent au moins trois fils), la somme des courants qui arrivent égale la somme de ceux qui repartent. Loi des mailles : le long de toute boucle fermée (une maille), la somme algébrique des tensions est nulle. Avec deux générateurs, comme ici, on ne peut plus raisonner par séries et parallèles : il faut écrire ces lois et résoudre un petit système d'équations.
Deux générateurs E₁ et E₂ alimentent ensemble la résistance R₃. Flèches rouges : sens réel de chaque courant (si un courant calculé est négatif, la flèche s'inverse). Mailles parcourues dans le sens des flèches vertes.
Un courant négatif n'est pas une erreur. On choisit au départ un sens arbitraire pour chaque courant ; si le calcul donne une valeur négative, le courant circule simplement dans l'autre sens. Quand E₂ est faible devant E₁, le courant traverse le générateur 2 de sa borne + vers sa borne − : il reçoit de l'énergie au lieu d'en fournir. C'est exactement ce qui se passe quand on recharge une batterie. Les sommes affichées valent zéro à 10⁻¹⁵ près, et la maille extérieure, qui n'est pas indépendante des deux autres, est automatiquement vérifiée.
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Diviseurs de tension et de courantPrélever une fraction de tension, partager un courant
Deux résistances en série forment un diviseur de tension : la tension se partage en proportion des résistances. Un potentiomètre (une résistance munie d'un curseur) est un diviseur réglable : c'est le bouton de volume d'un vieil amplificateur. Deux résistances en parallèle forment un diviseur de courant : le courant se partage en proportion inverse des résistances, la plus grande part passant par le chemin le plus facile. Attention : un diviseur de tension n'est exact qu'à vide ; brancher un appareil à sa sortie (une charge) en modifie la tension.
diviseur de tension : Us = E·R₂/(R₁ + R₂) diviseur de courant : I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)
Potentiomètre de 10 kΩ sous 12 V ; le curseur prélève la fraction x. Une charge RL peut être branchée en sortie.Tension de sortie selon la position du curseur : à vide (gris, droite) et avec la charge (bleu).
Sortie à vide · en charge—
Erreur due à la charge—
Solveur contre formule (charge comprise) : écart—
Un courant I arrive en A et se partage entre R₁ et R₂. La largeur de chaque flux est proportionnelle à son courant.
I₁ · I₂—
I₁ + I₂ − I—
Tension commune U = R₁I₁ = R₂I₂—
La charge doit être grande. Tant que RL est très supérieure aux résistances du diviseur, la sortie suit fidèlement la règle simple ; si RL devient comparable, la courbe s'affaisse : la charge, en parallèle sur R₂, abaisse la résistance du bas. C'est pourquoi un voltmètre doit avoir une résistance interne très élevée (10 MΩ pour un multimètre numérique), et un ampèremètre, en série, une résistance très faible : un ampèremètre utilise d'ailleurs un diviseur de courant (un « shunt ») pour mesurer de forts courants.
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Signature : sources réelles et réseauxForce électromotrice, résistance interne… et un réseau infini de résistances
Une pile réelle n'est pas une source de tension parfaite : la tension à ses bornes baisse quand elle débite. On la modélise par une source idéale de force électromotrice E (sa tension à vide) en série avec une résistance interne r. Cette modélisation se mesure : il suffit de tracer U en fonction de I. Elle permet aussi de savoir comment grouper des piles, et, plus loin, d'aborder des réseaux de résistances aussi grands qu'on veut.
U = E − r·I courant de court-circuit Icc = E/r point de fonctionnement : E − r·I = R·I
Caractéristique U(I) de la pile (droite rouge) et de la charge R (droite bleue, U = R·I). Leur intersection est le point de fonctionnement. Points : mesures bruitées obtenues en faisant varier R ; droite verte : leur régression.
Point de fonctionnement—
Puissance dans la charge · rendement—
E et r retrouvés par la régression—
Courant de court-circuit—
Avec N piles identiques (E = 1,5 V, r = 0,5 Ω), on peut former m rangées en parallèle de n piles en série (n·m = N). La source équivalente a une force électromotrice n·E et une résistance interne n·r/m. Quel groupement donne le plus de courant dans une charge donnée ? Le meilleur est celui dont la résistance interne est la plus proche de la charge.
Le meilleur groupement, dessiné : n piles en série par rangée, m rangées en parallèle.
Un quadrillage de N × N nœuds, chaque côté de maille étant une résistance R = 1 Ω. Quelle résistance mesure-t-on entre deux nœuds voisins au centre ? La réponse, pour un réseau infini, est exactement R/2 : un résultat célèbre qui se démontre par superposition (on injecte 1 A au premier nœud, qui se répartit en 4 × 1/4 A, puis on retire 1 A au second). Entre deux nœuds en diagonale, on trouve 2R/π. Le solveur relaxe le réseau jusqu'à ce que la loi des nœuds soit vérifiée partout.
À gauche : potentiel des nœuds (rouge : élevé, bleu : bas) quand on injecte 1 A en A et qu'on le retire en B. À droite : résistance mesurée selon la taille du réseau, et sa limite théorique (pointillé).
Résistance entre A et B—
Limite pour un réseau infini · écart—
Courant dans la résistance AB (voisins)—
Plus grand défaut à la loi des nœuds—
Une source réelle se mesure sur une droite. La régression retrouve E et r cachés à quelques pour cent près, comme le ferait un élève en TP. La puissance dans la charge est maximale quand R = r, mais le rendement n'est alors que de 50 % ; les réseaux électriques visent l'inverse. Pour les piles, mettre en série augmente la tension, en parallèle diminue la résistance interne. Quant au réseau infini, le solveur montre que ses valeurs théoriques (1/2, 2/π, 2 − 4/π) sont approchées d'autant mieux que le quadrillage est grand : le bord se fait sentir de moins en moins.
∑
RécapitulatifRepères historiques et synthèse
1800 Volta : la pile, premier générateur de courant continu.
1827 Ohm : U = R·I, et déjà la notion de résistance interne de la pile (planche 5).
1843 Wheatstone popularise le pont de mesure des résistances.
1845 Kirchhoff énonce les lois des nœuds et des mailles (planche 3).
1883 Théorème de Thévenin : tout réseau vu de deux bornes équivaut à une source E et une résistance r.
1926 Théorème de Norton, version « source de courant » du précédent.
1971-1973 Le logiciel SPICE (Berkeley) résout automatiquement les circuits par analyse nodale, comme le solveur de cette page.
Générateurs et récepteurs
Le générateur fournit l'énergie (courant sortant par le +), les récepteurs la reçoivent. La somme des puissances reçues égale la puissance fournie.
Série, parallèle, Kirchhoff
Série : même courant, résistances qui s'ajoutent. Parallèle : même tension, conductances qui s'ajoutent. Nœuds : les courants se conservent. Mailles : les tensions s'annulent.
Diviseurs et sources réelles
Un diviseur partage tension ou courant selon les résistances, exactement à vide seulement. Une source réelle se décrit par E et r : U = E − r·I.
Pour aller plus loin
La page sur l'électrocinétique prolonge ces notions aux régimes variables (circuits RC, RL, RLC) ; la page sur la résistance et la conduction explique d'où vient la résistance ; la page sur le courant électrique précise les notions d'intensité et de tension.
Méthode : les circuits des planches 1 à 4 sont résolus par analyse nodale modifiée (une inconnue par potentiel de nœud et par courant de générateur, système linéaire résolu par élimination de Gauss avec pivot), puis chaque loi est vérifiée sur la solution ; le réseau infini est relaxé par la méthode de Gauss-Seidel surrelaxée, avec bords libres. Modèles : pile 12 V de résistance interne 0,5 Ω et moteur de résistance 1 Ω en planche 1 ; mesures à bruit gaussien de 1 % en planche 5.