Diodes, transistors, amplificateurs opérationnels, filtres, alimentations et portes logiques : les briques de tous les appareils électroniques. Chaque composant est simulé à partir d'un modèle physique, et chaque résultat est confronté à une méthode de calcul indépendante.
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De l'électricité à l'électroniqueAvant de commencer
L'électricité transporte de l'énergie ; l'électronique s'en sert pour traiter de l'information : redresser, amplifier, filtrer, convertir, calculer. Elle repose sur des composants dont le comportement n'est pas proportionnel, comme celui d'une résistance, mais non linéaire et commandé. La plupart sont faits de semi-conducteurs (silicium dopé) : la diode laisse passer le courant dans un seul sens, le transistor laisse un petit courant en commander un grand. Avec ces deux briques, quelques résistances et condensateurs, on construit des amplificateurs, des filtres, des alimentations… et les milliards de portes logiques d'un processeur.
diode : I = Is·(eV/(nVT) − 1) transistor : IC = β·IB amplificateur opérationnel : vs = A₀·(v₊ − v₋) filtre : H(jω) = vs/ve
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Diodes et redressementUn sens interdit pour les électrons
Une diode est une jonction entre deux zones de silicium dopées différemment (P et N). Dans le sens direct (de l'anode vers la cathode), le courant croît de façon exponentielle avec la tension : presque rien au-dessous de 0,5 V, puis une montée très raide vers 0,7 V. Dans le sens inverse, il ne passe qu'un courant de fuite de quelques nanoampères. En pratique, on la remplace souvent par un modèle simplifié : un interrupteur qui se ferme au-delà d'un seuil de 0,7 V. Pour trouver le point de fonctionnement d'une diode en série avec une résistance, il faut résoudre une équation que l'on ne sait pas écrire avec des fonctions usuelles : on la résout ici par deux méthodes numériques indépendantes.
I = Is·(eV/(nVT) − 1), Is = 4 nA, n = 1,9, VT = kT/e = 25,85 mV circuit : E = R·I + V
Caractéristique de la diode (rouge), droite de charge de la résistance I = (E − V)/R (bleu) et point de fonctionnement à leur intersection. En pointillé : le modèle simplifié à seuil de 0,7 V.
Tension aux bornes de la diode : Newton · dichotomie—
Courant : Newton · dichotomie—
Modèle simplifié (seuil 0,7 V) : courant · écart—
Résistance dynamique : pente mesurée · nVT/I—
Le redressement transforme la tension alternative d'un transformateur (ici 12 V efficaces, soit 16,97 V crête) en tension de signe constant. Une seule diode ne laisse passer que les alternances positives (simple alternance) ; un pont de quatre diodes (pont de Graetz) retourne les alternances négatives (double alternance), au prix de deux seuils de diode. Un condensateur placé en sortie se charge aux sommets et se décharge lentement dans la charge entre deux sommets : la tension devient presque continue, avec une petite ondulation.
Schéma (les diodes qui conduisent à l'instant marqué sont en orange) et oscillogramme : tension du transformateur (bleu), tension de sortie (rouge), courant dans les diodes (orange, échelle propre). Le régime permanent est obtenu directement par une méthode de tir : on cherche par dichotomie la tension initiale qui se retrouve identique une période plus tard.
Tension moyenne de sortie—
Ondulation crête à crête—
Courant moyen : dans les diodes · dans la charge—
Diodes : courant de crête · part du temps où elles conduisent—
Un condensateur rend la tension presque continue, mais pas gratuitement. Il se recharge pendant une fraction de chaque alternance seulement : les diodes conduisent alors par impulsions brèves et intenses, plusieurs fois plus fortes que le courant moyen de la charge. Le courant moyen qui traverse les diodes est pourtant égal à celui de la charge, puisque le condensateur retrouve la même charge d'une période à l'autre. Le pont double la fréquence des recharges et divise donc l'ondulation par deux environ. La formule approchée ΔV ≈ I/(f·C) (simple alternance) ou I/(2f·C) (pont) donne le bon ordre de grandeur mais surestime l'ondulation, car elle suppose que le condensateur se décharge pendant toute la période, alors qu'il se recharge pendant une partie de celle-ci ; l'écart est d'autant plus grand que l'ondulation est forte.
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Le transistor, interrupteur et amplificateurUn petit courant qui en commande un grand
Un transistor bipolaire NPN a trois bornes : la base (B), le collecteur (C) et l'émetteur (E). Un faible courant IB entrant par la base laisse passer un courant IC = β·IB environ cent fois plus grand entre collecteur et émetteur. Selon la tension de commande, le transistor a trois régimes : bloqué (aucun courant : interrupteur ouvert), saturé (le courant n'est plus limité que par la charge : interrupteur fermé) et, entre les deux, linéaire, où la sortie suit fidèlement les petites variations de l'entrée en les amplifiant. Le transistor est simulé ici par le modèle d'Ebers et Moll (deux jonctions exponentielles couplées), avec β = 100.
régime linéaire : IC = β·IB VCE = VCC − RC·IC gain en petits signaux : G = −β·RC/(RB + rπ), rπ = β·VT/IC
Montage émetteur commun : alimentation 12 V, charge RC = 1 kΩ (une lampe), résistance de base RB. À droite, la caractéristique de transfert vs = VCE en fonction de ve, avec ses trois régimes ; le trait épais est la plage parcourue par le signal d'entrée.Oscillogramme sur deux périodes : entrée ve (bleu, en haut) et sortie vs (rouge, en bas). Échelles ajustées automatiquement à chaque signal.
Au repos : régime · VCE (Newton · double dichotomie)—
Au repos : IB · IC · rapport IC/IB—
Gain : mesuré · pente · formule—
Distorsion harmonique—
Puissance moyenne : dans le transistor · dans la charge—
Deux usages opposés d'un même composant. En amplificateur, on place le point de repos au milieu de la zone linéaire : une petite variation de l'entrée produit une variation environ dix fois plus grande et inversée de la sortie (le gain est négatif). Le gain mesuré sur la simulation tend vers la formule quand l'amplitude diminue ; si l'on force l'amplitude, la sortie bute sur le blocage ou la saturation et se déforme (distorsion). En interrupteur, l'entrée bascule entre 0 et 5 V : le transistor passe du blocage à la saturation, et le rapport IC/IB tombe bien au-dessous de β. Comme le transistor est alors soit sans courant, soit sans tension, il chauffe très peu : c'est le principe de toute l'électronique numérique et des alimentations à découpage.
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Les amplificateurs opérationnelsUn gain énorme, dompté par la contre-réaction
Un amplificateur opérationnel (AOP) est un circuit intégré d'une vingtaine de transistors qui amplifie la différence entre ses deux entrées, v₊ et v₋, avec un gain énorme (ici A₀ = 100 000) ; sa sortie ne peut pas dépasser les tensions d'alimentation (ici ±13 V). Seul, il est inutilisable comme amplificateur : la moindre différence le sature. On le boucle donc en renvoyant une partie de la sortie sur l'entrée −. La sortie s'ajuste alors d'elle-même pour que v₊ et v₋ soient presque égales (« court-circuit virtuel »), et le gain ne dépend plus que de deux résistances. Le gain diminue aux hautes fréquences : le produit gain × bande passante reste constant (ici 1 MHz).
inverseur : G = −R₂/R₁ non inverseur : G = 1 + R₂/R₁ suiveur : G = 1 modèle réel : A(jω) = A₀/(1 + jω·A₀/(2π·GBW))
Schéma du montage et oscillogramme de l'entrée ve (bleu) et de la sortie vs (rouge). La sortie est calculée pas à pas (Runge-Kutta d'ordre 4) avec le modèle réel de l'AOP : gain fini, bande passante limitée, saturation à ±13 V.
Gain |vs/ve| : simulation · formule réelle · idéal—
Déphasage de la sortie : simulation · formule—
Plus grand écart v₊ − v₋ pendant la période—
Bande passante à −3 dB : dichotomie · approximation GBW/(1 + R₂/R₁)—
Régime—
La contre-réaction échange du gain contre de la précision. Aux basses fréquences, le gain réel ne s'écarte du gain idéal −R₂/R₁ que d'environ un dix-millième : il est fixé par deux résistances, et non par les transistors, dont le gain varie d'un exemplaire à l'autre. Tant que la sortie n'est pas saturée, l'écart entre les deux entrées ne dépasse pas quelques millivolts (la tension de sortie divisée par le gain de l'AOP à cette fréquence), alors que la sortie varie de plusieurs volts. Le prix à payer est la bande passante : avec un gain de 11 (en comptant le retour), elle tombe à environ 1 MHz/11 ≈ 91 kHz ; au-delà, le gain chute et la sortie prend du retard. Sans contre-réaction, l'AOP devient un comparateur qui ne connaît que deux états, ±13 V, et transforme une sinusoïde en signal rectangulaire.
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Les filtres électriquesLaisser passer certaines fréquences, arrêter les autres
Un filtre laisse passer certaines fréquences et en atténue d'autres. Il exploite le fait que l'impédance d'un condensateur diminue avec la fréquence et celle d'une bobine augmente. Un filtre passe-bas RC (sortie aux bornes du condensateur) laisse passer les basses fréquences, un passe-haut (sortie aux bornes de la résistance) les hautes, et un circuit RLC un passe-bande centré sur sa fréquence de résonance. On le décrit par sa fonction de transfert H(jω) = vs/ve, dont on trace le module (en décibels) et l'argument en fonction de la fréquence : c'est le diagramme de Bode.
passe-bas : H = 1/(1 + jRCω) passe-haut : H = jRCω/(1 + jRCω) fc = 1/(2πRC) passe-bande : H = R/(R + jLω + 1/(jCω)), f₀ = 1/(2π√(LC)), Δf = R/(2πL) GdB = 20·log₁₀|H|
Diagramme de Bode : gain en décibels (en haut) et déphasage (en bas), en fonction de la fréquence sur une échelle logarithmique. Courbes : formule ; point : mesure sur la simulation à la fréquence choisie.Schéma du filtre et oscillogramme en régime permanent : entrée (bleu, amplitude 1 V) et sortie (rouge). Le régime permanent est trouvé par une méthode de tir exploitant la linéarité du circuit.
Gain à cette fréquence : simulation (Fourier) · formule—
Déphasage : simulation · formule—
Fréquence de coupure—
Pente—
Atténuer sans détruire. À la fréquence de coupure, le gain vaut −3 dB (la moitié de la puissance) et le déphasage ±45° ; loin de la coupure, un filtre du premier ordre atténue de 20 dB par décade, soit un facteur 10 en amplitude chaque fois que la fréquence est multipliée par 10. Un signal carré, somme d'harmoniques impaires, ressort arrondi d'un passe-bas, réduit à ses fronts par un passe-haut, et presque sinusoïdal d'un passe-bande sélectif, qui ne garde que l'harmonique proche de sa fréquence de résonance. Même avec une entrée carrée, le gain mesuré sur la composante fondamentale coïncide avec H(jω) : c'est ce qui permet d'analyser un filtre harmonique par harmonique. Le facteur de qualité Q = f₀/Δf mesure la sélectivité du passe-bande.
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Signature : de l'alimentation au calculConvertir l'énergie, puis manipuler des bits
Tout appareil électronique commence par une alimentation, qui convertit l'énergie du secteur en tension continue stable, et la plupart finissent par des circuits logiques, qui manipulent des 0 et des 1. Deux familles d'alimentations coexistent : l'alimentation linéaire (transformateur, pont, condensateur, régulateur), simple mais qui dissipe en chaleur tout l'excédent de tension, et l'alimentation à découpage, où un transistor commute des dizaines de milliers de fois par seconde et ne gaspille presque rien. Quant aux circuits logiques, ce sont des transistors utilisés en interrupteurs, assemblés en portes qui réalisent les opérations de l'algèbre de Boole.
régulateur linéaire : rendement ≤ Vs/Ve hacheur abaisseur : Vs = α·Ve NON-ET : S = ¬(A ∧ B) somme d'un bit : S = A ⊕ B ⊕ C, retenue = A·B + C·(A ⊕ B)
Chaîne complète : transformateur (secteur 230 V vers une tension efficace réglable), pont de diodes, condensateur, puis régulateur intégré de type 7805, qui délivre 5 V tant que sa tension d'entrée dépasse 7 V (il lui faut 2 V de marge). Le régulateur est un transistor en régime linéaire qui « mange » l'excédent de tension : il le transforme en chaleur.
En haut, la chaîne de conversion. Au milieu, tension du secondaire redressée (bleu pointillé), tension aux bornes du condensateur (orange), seuil de 7 V (gris) et sortie régulée (vert). En bas, où part la puissance fournie par le transformateur.
Tension du condensateur : minimum · maximum—
Régulation—
Bilan : puissance fournie · somme des parts · écart—
Rendement du régulateur : Putile/(Putile + Prég) · 5 V/⟨vC⟩—
Rendement global—
Le hacheur abaisseur (« buck »), cœur des chargeurs et des alimentations d'ordinateurs : un transistor relie l'entrée 12 V à une bobine pendant une fraction α de chaque période (le rapport cyclique), puis s'ouvre ; une diode prend alors le relais pour laisser circuler le courant de la bobine. La bobine et le condensateur lissent ces créneaux : la sortie vaut en moyenne α × 12 V, tant que le courant de la bobine ne s'annule pas en cours de période (conduction continue). Ni le transistor (soit ouvert, soit fermé) ni la bobine ni le condensateur (qui stockent puis restituent) ne dissipent d'énergie : avec des composants idéaux, le rendement est de 100 %.
Schéma et formes d'onde sur deux périodes de découpage (50 kHz) en régime permanent : tension en sortie de l'interrupteur (bleu), courant dans la bobine (orange), tension de sortie (rouge).
Tension de sortie moyenne : simulation · α·Ve—
Ondulation du courant dans L : simulation · formule (sortie supposée constante)—
Ondulation de la tension de sortie : simulation · formule—
Une porte logique est un petit assemblage de transistors en interrupteurs : 0 V code le chiffre 0, 5 V le chiffre 1. La porte NON-ET (NAND) n'utilise que quatre transistors en technologie CMOS, et elle est universelle : toutes les autres portes, et même un additionneur, se construisent avec elle seule. Ici, chaque porte est recalculée à partir de portes NON-ET, et l'additionneur 4 bits est simulé porte par porte, avec un retard d'une unité par porte : on voit la retenue se propager de bit en bit.
À gauche, la porte choisie avec ses entrées (orange = 1). À droite, un additionneur 4 bits formé de quatre additionneurs complets (AC) de 9 portes NON-ET chacun : les bits de A et B arrivent en haut, la somme sort en bas, la retenue passe de droite à gauche.
Sortie de la porte : table de vérité · montage en NON-ET—
A + B : additionneur à portes · arithmétique—
Portes NON-ET · transistors CMOS—
Temps de calcul : mesuré · plus long chemin du circuit—
L'électronique moderne est une électronique de commutation. L'alimentation linéaire est simple et silencieuse, mais son régulateur transforme en chaleur tout l'excédent de tension : son rendement ne peut dépasser 5 V divisé par la tension moyenne du condensateur. Si le condensateur est trop petit ou le courant trop fort, la tension descend sous 7 V au creux de l'ondulation et la régulation décroche. Le hacheur, lui, produit la même tension avec un rendement idéal de 100 % ; c'est pourquoi les chargeurs modernes sont petits et tièdes. Les mêmes transistors en commutation font les portes logiques : 36 portes NON-ET, soit 144 transistors, suffisent à additionner deux nombres de 4 bits, et le temps de calcul est limité par la propagation de la retenue de bit en bit.
∑
RécapitulatifRepères historiques et synthèse
1854 George Boole publie l'algèbre qui porte son nom (planche 5).
1874 Ferdinand Braun observe l'effet redresseur d'un contact entre un métal et un cristal (planche 1).
1904 John Ambrose Fleming invente la diode à vide (planche 1).
1906 Lee de Forest invente l'audion, triode à vide, premier amplificateur électronique.
1937 Claude Shannon montre que des circuits à relais réalisent l'algèbre de Boole (mémoire publiée en 1938).
1947 Bardeen, Brattain et Shockley inventent le transistor aux laboratoires Bell (planche 2).
1958-1959 Jack Kilby et Robert Noyce réalisent les premiers circuits intégrés.
1963 Frank Wanlass brevette la logique CMOS, aujourd'hui universelle (planche 5).
1968 L'amplificateur opérationnel intégré μA741 devient le standard des montages analogiques (planche 3).
1971 Intel commercialise le 4004, premier microprocesseur, avec environ 2 300 transistors.
Composants
Diode : courant à sens unique, seuil d'environ 0,7 V. Transistor : IC = β·IB, bloqué, linéaire ou saturé. AOP : gain énorme, utilisé en contre-réaction (v₊ ≈ v₋).
Fonctions
Redresser (diodes et condensateur), amplifier (transistor ou AOP), filtrer (RC, RLC : coupure à −3 dB, 20 dB par décade et par ordre), réguler (linéaire ou à découpage).
Du signal au calcul
En commutation, le transistor ne dissipe presque rien : alimentations à découpage et portes logiques. La porte NON-ET est universelle ; quelques dizaines suffisent pour additionner.
Pour aller plus loin
La page sur les circuits en courant alternatif traite l'impédance et les nombres complexes utilisés ici pour les filtres ; la page sur les régimes transitoires et les oscillations détaille la résonance RLC ; la page sur les bases de l'électricité présente les semi-conducteurs.
Méthodes : diode et transistor sont décrits par des modèles exponentiels (Shockley, Ebers-Moll) et leurs points de fonctionnement sont obtenus deux fois, par la méthode de Newton et par dichotomie ; les circuits dynamiques sont intégrés par Runge-Kutta d'ordre 4 ; les régimes permanents sont trouvés par une méthode de tir (dichotomie sur l'état initial pour les circuits à diodes, superposition pour les filtres linéaires) ; gains et phases sont mesurés sur la composante fondamentale de Fourier ; les fréquences de coupure sont recherchées par dichotomie sur la fonction de transfert complexe. Composants idéalisés : diodes du redressement modélisées par un seuil de 0,7 V et une résistance de 0,5 Ω, AOP sans limitation de vitesse de balayage, hacheur à interrupteur et diode parfaits.