La dualité en algèbre linéaire
À côté de chaque espace de vecteurs vit un second espace : celui des « machines à mesurer » les vecteurs. Les deux mondes se répondent terme à terme — c'est la dualité.
L'idée en une phrase, puis le dictionnaire
Un vecteur est un objet que l'on additionne et que l'on multiplie par des nombres. Une forme linéaire est une machine qui prend un vecteur et rend un nombre, en respectant ces deux opérations :
φ(u + v) = φ(u) + φ(v) et φ(λv) = λ φ(v).
Exemples : « l'abscisse d'un vecteur du plan », « le prix total d'un panier » (somme des quantités × prix unitaires), « la valeur d'un polynôme en 2 », « l'intégrale d'une fonction sur [0 ; 1] ». Les formes linéaires sur un espace E s'additionnent et se multiplient par des nombres à leur tour : elles forment un nouvel espace vectoriel, le dual de E, noté E*. Tout ce qui se dit d'un côté a son reflet de l'autre :
| Côté vecteurs (espace E) | Côté formes (dual E*) | Planche |
|---|---|---|
| un vecteur v : une flèche | une forme φ : une pile de lignes de niveau parallèles ; φ(v) compte les lignes franchies | 1 |
| une base (e₁, …, eₙ) | la base duale (e¹, …, eⁿ) : eⁱ lit la i-ème coordonnée, eⁱ(eⱼ) = 1 si i = j, 0 sinon | 2 |
| une application linéaire f : E → F, de matrice A | sa transposée fᵗ : F* → E*, ψ ↦ ψ ∘ f, de matrice Aᵀ — la flèche change de sens | 3 |
| un sous-espace F décrit par des générateurs | le même sous-espace décrit par des équations : son orthogonal F⁰, avec dim F + dim F⁰ = n | 4 |
| des polynômes de degré ⩽ n | des mesures sur ces polynômes : valeur en un point, dérivée, intégrale — et les formules de quadrature qui en sortent | 5 |
Un mot sur les notations : on écrit les indices des vecteurs en bas (e₁) et ceux des formes en haut (e¹). Ce ne sont pas des puissances ; c'est un rappel visuel que les deux familles ne se transforment pas de la même façon quand on change de base (planche 2).
À quoi ressemble une forme linéaire ?
Dans le plan, toute forme linéaire s'écrit φ(x, y) = a x + b y. On la représente non pas par une flèche, mais par ses lignes de niveau φ = …, −1, 0, 1, 2, … : des droites parallèles et équidistantes. Mesurer un vecteur v, c'est compter combien de ces lignes il traverse en allant de l'origine à sa pointe.
La base duale : les machines qui lisent les coordonnées
Donnons-nous une base quelconque (e₁, e₂), pas forcément perpendiculaire. Tout vecteur s'écrit v = x¹e₁ + x²e₂. La forme e¹ est celle qui rend la première coordonnée : e¹(v) = x¹. Elle est caractérisée par
e¹(e₁) = 1, e¹(e₂) = 0, e²(e₁) = 0, e²(e₂) = 1 (symbole de Kronecker δⁱⱼ).
Ses lignes de niveau sont donc parallèles à e₂ (sur lesquelles elle vaut 0), et espacées de façon que e₁ en traverse exactement une. Superposées, les lignes de e¹ et de e² dessinent précisément le quadrillage oblique de la base.
La transposée : la flèche qui repart en arrière
Soit f : E → F une application linéaire de matrice A. Une forme ψ qui mesure les vecteurs d'arrivée fournit gratuitement une forme sur les vecteurs de départ : « transporter d'abord par f, puis mesurer par ψ ». Cette nouvelle forme s'appelle la transposée de f appliquée à ψ :
fᵗ(ψ) = ψ ∘ f, c'est-à-dire (fᵗψ)(v) = ψ(f(v)).
Remarquez le sens : f va de E vers F, mais fᵗ va de F* vers E*. Les lignes de niveau de ψ, tirées en arrière par f, deviennent les lignes de niveau de fᵗψ. Et dans les bases duales, la matrice de fᵗ est la transposée Aᵀ (lignes et colonnes échangées) : voilà d'où vient ce mot.
Deux façons de décrire un sous-espace : générateurs ou équations
Une droite de l'espace peut se donner par un vecteur directeur (on la parcourt) ou par deux équations (on la découpe). Un plan, par deux générateurs ou par une seule équation. Les équations sont des formes linéaires nulles sur le sous-espace : elles forment son orthogonal (on dit aussi annulateur)
F⁰ = { φ ∈ E* : φ(x) = 0 pour tout x de F }, et dim F + dim F⁰ = dim E.
Plus le sous-espace est petit, plus il faut d'équations pour l'enfermer. La page calcule F⁰ honnêtement, par élimination de Gauss sur les générateurs, puis repart des seules équations pour retrouver F (c'est l'orthogonal de l'orthogonal, F⁰⁰).
Une intégrale est une forme linéaire
Prenons l'espace des polynômes de degré ⩽ n (dimension n + 1) et n + 1 points équidistants xᵢ = i/n de [0 ; 1]. Les formes « valeur en xᵢ », notées δᵢ(P) = P(xᵢ), forment une base du dual. Quelle est la base de polynômes dont elles sont la base duale ? Ce sont les polynômes de Lagrange Lᵢ, qui valent 1 en xᵢ et 0 aux autres nœuds : δⱼ(Lᵢ) = δⁱⱼ.
Dès lors, n'importe quelle forme linéaire ℓ se décompose dans cette base duale, avec des coefficients que la dualité donne d'avance :
ℓ = Σ ℓ(Lᵢ) · δᵢ, donc ℓ(P) = Σ wᵢ P(xᵢ) avec wᵢ = ℓ(Lᵢ).
Si ℓ est l'intégrale sur [0 ; 1], on obtient les formules de Newton-Cotes (trapèzes pour n = 1, Simpson pour n = 2 avec les poids 1/6, 4/6, 1/6). Si ℓ est la dérivée en 0, on obtient les formules de différences finies. Si ℓ est la valeur en 1,25, hors de l'intervalle, on obtient l'extrapolation. Une seule idée, trois techniques du calcul numérique.
Repères historiques
- 1722Publication posthume de l'Harmonia mensurarum de Roger Cotes : les poids des formules d'intégration à points équidistants, qu'on appellera de Newton-Cotes.
- 1795Lagrange présente aux Écoles normales la formule d'interpolation qui porte son nom (Waring l'avait publiée en 1779).
- 1844Grassmann, dans l'Ausdehnungslehre, sépare les grandeurs « extensives » et prépare le langage des espaces vectoriels.
- 1907Riesz et Fréchet montrent que, dans les espaces de fonctions de carré intégrable, toute forme linéaire continue est un produit scalaire avec une fonction fixe : le représentant rⁱ de la planche 2, en dimension infinie.
- 1927-1929Hahn puis Banach : assez de formes linéaires continues existent pour séparer les points ; le dual devient un outil central de l'analyse fonctionnelle.
- 1934Pontryagin étend la dualité aux groupes commutatifs : la transformée de Fourier en est un cas particulier.
- 1947-1951Von Neumann énonce la dualité de la programmation linéaire, démontrée par Gale, Kuhn et Tucker : tout problème d'optimisation linéaire a un problème jumeau de même optimum.
Synthèse
Mesurer plutôt que montrer
Une forme linéaire est une mesure : une pile de lignes de niveau équidistantes. Les formes forment elles-mêmes un espace, le dual, de même dimension que l'espace de départ. La base duale lit les coordonnées et varie à l'envers de la base.
Tout s'inverse proprement
Les applications deviennent leurs transposées (ψ ↦ ψ ∘ f), dans l'autre sens. Les générateurs deviennent des équations, et dim F + dim F⁰ = n. Repasser deux fois de l'autre côté ramène au point de départ : F⁰⁰ = F.
Un outil de calcul
Intégrer, dériver, extrapoler sont des formes linéaires. Les décomposer dans la base duale des valeurs ponctuelles donne d'un coup les formules de quadrature et de différences finies, avec leur exactitude garantie et leur fragilité mesurée par Σ|wᵢ|.
Pour aller plus loin
Le bidual. Un vecteur v définit une forme sur les formes : φ ↦ φ(v). On obtient ainsi une application de E dans son bidual E**, qui ne dépend d'aucun choix de base. En dimension finie c'est un isomorphisme (on l'a vu à la planche 4 avec F⁰⁰ = F). En dimension infinie, non : le dual de l'espace des polynômes est celui des suites quelconques (une forme est déterminée par ses valeurs sur 1, x, x², …), espace beaucoup plus gros, et le bidual l'est encore davantage.
Pas d'isomorphisme naturel entre E et E*. Il faut un ingrédient de plus — un produit scalaire — pour associer un vecteur à une forme, comme les représentants rⁱ de la planche 2. Changer de produit scalaire change l'association ; c'est le rôle du tenseur métrique en calcul tensoriel.
Choisir mieux les nœuds. La fragilité de la planche 5 vient des nœuds équidistants. En choisissant aussi les nœuds (méthode de Gauss), on rend la formule exacte jusqu'au degré 2n + 1 avec des poids tous positifs : Σ|wᵢ| = 1 pour l'intégrale sur [0 ; 1].
Autres dualités. La polarité des polyèdres (le cube et l'octaèdre échangent sommets et faces), la dualité de la programmation linéaire (prix fictifs d'un problème de production), la transformée de Fourier comme dualité entre un signal et ses fréquences : toutes reposent sur la même mécanique d'un objet mesuré par des formes.