La cristallographie : où sont les atomes, et comment se répètent-ils ?

Comment une seule maille peut-elle décrire un cristal entier ?

Choisissez un cristal réel, puis faites croître le bloc de mailles. Chaque atome situé sur la frontière d'une maille est partagé avec ses voisines : un atome de sommet appartient à 8 mailles (il compte pour ⅛), un atome d'arête à 4 (¼), un atome de face à 2 (½), un atome intérieur à une seule. Ce décompte donne le nombre Z de motifs par maille ; avec la masse des atomes et la taille de la maille, il prédit la masse volumique du cristal, que l'on compare à la valeur mesurée sur un morceau réel.

De combien de façons différentes peut-on répéter un point dans l'espace ?

Une maille est fixée par six nombres : les longueurs a, b, c et les angles α (entre b et c), β (entre a et c), γ (entre a et b). Selon les égalités imposées entre ces nombres, on obtient sept systèmes cristallins. En ajoutant des points au centre de la maille (I, pour innenzentriert), au centre de toutes les faces (F) ou de deux faces opposées (C), Auguste Bravais montra en 1848 qu'on obtient exactement quatorze réseaux distincts. La page compte, pour chaque réglage, les symétries du réseau : toutes les isométries fixant un nœud qui renvoient le réseau sur lui-même, trouvées par une recherche exhaustive parmi les vecteurs du réseau.

Pourquoi tant de métaux choisissent-ils les mêmes arrangements ?

Dans un métal, les atomes se comportent à peu près comme des boules dures qui cherchent à se toucher le plus possible. On mesure le remplissage par la compacité : la fraction du volume de la maille occupée par les boules. La page la calcule par la formule, puis la mesure indépendamment en jetant des points au hasard dans la maille (méthode de Monte-Carlo) : un point rouge tombe dans une boule, un point gris dans le vide.

Empiler des couches : A, B, C

Une couche de boules jointives forme des hexagones. La couche suivante se pose dans la moitié des creux (position B). Pour la troisième, deux choix : au-dessus de la première (A), ou dans les creux restés libres (C). La suite ABCABC… donne le cubique à faces centrées, la suite ABAB… l'hexagonal compact. Les deux ont exactement la même compacité ; Kepler l'avait conjecturée maximale en 1611, Thomas Hales l'a démontré en 1998 (preuve vérifiée par ordinateur en 2014).

Comment voir des atomes qu'aucun microscope ordinaire ne peut montrer ?

Les nœuds d'un réseau se groupent en familles de plans parallèles équidistants. On repère une famille par ses indices de Miller (h k l) : le plan de la famille le plus proche de l'origine coupe les axes en a/h, a/k, a/l (un indice nul veut dire : parallèle à cet axe ; un indice négatif s'écrit surligné, 1̄). Dans un réseau cubique, l'écart entre plans voisins vaut d = a / √(h² + k² + l²). La page mesure aussi cet écart autrement, par la géométrie : volume d'une maille primitive divisé par l'aire occupée par un nœud dans le plan.

La loi de Bragg : 2 d sin θ = n λ

Des rayons X de longueur d'onde λ frappent les plans sous l'angle θ. Chaque plan en renvoie une petite partie, comme un miroir à peine argenté. Le rayon réfléchi par le plan du dessous parcourt un chemin plus long de 2d sin θ (les deux segments rouges). Si ce supplément vaut un nombre entier de longueurs d'onde, toutes les ondes arrivent en phase et s'additionnent : on observe un faisceau intense. Sinon, elles se détruisent mutuellement. Le graphique de droite additionne pour de vrai les ondes renvoyées par N plans.

Si l'on ne voit que la figure de diffraction, peut-on retrouver où sont les atomes ?

C'est le cœur du métier de cristallographe. Premier volet : le diffractogramme de poudre, que l'on obtient en éclairant une poudre fine (des millions de petits cristaux orientés au hasard) avec la raie Kα du cuivre, λ = 1,5406 Å. Chaque famille de plans donne une raie à l'angle 2θ de Bragg ; son intensité est fixée par le facteur de structure F(hkl) = Σ f_j e^{2πi(hx_j+ky_j+lz_j)}, somme des ondes diffusées par les atomes du motif. Le programme calcule ce diagramme, puis joue le détective : à partir des seules positions des raies, il essaie les quatre lectures possibles du réseau et confronte chacune à la masse volumique mesurée. Second volet : l'espace réciproque, la figure complète de diffraction d'un cristal à deux dimensions.