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Mécanique

La cinématique

Décrire un mouvement — où se trouve l'objet, à quelle vitesse il va, comment sa vitesse change — sans chercher quelles forces le provoquent.

Décrire avant d'expliquer

La cinématique (du grec kinêma, « mouvement ») est la partie de la mécanique qui décrit le mouvement des objets. Elle ne se demande pas pourquoi un objet bouge : c'est le rôle de la dynamique, qui parle des forces (Newton). La cinématique se contente de répondre, avec précision, à la question comment il bouge.

Pensez au chronométreur posté au bord d'une piste : il note à quel endroit passe le coureur et à quel instant. Il ne sait rien de ses muscles ni du vent, et pourtant, avec ses seules notes, il peut dire où était le coureur, à quelle vitesse il allait et s'il accélérait. C'est exactement le programme de la cinématique. Il tient en trois questions et trois grandeurs :

Question	Grandeur	Ce qu'elle mesure	Unité
Où se trouve l'objet ?	position x	la distance, comptée avec un signe, entre l'objet et une origine choisie	mètre (m)
À quelle vitesse se déplace-t-il ?	vitesse v	de combien la position change chaque seconde : v = dx/dt	mètre par seconde (m/s)
Comment sa vitesse évolue-t-elle ?	accélération a	de combien la vitesse change chaque seconde : a = dv/dt	mètre par seconde, par seconde (m/s²)

Chaque grandeur se déduit de la précédente de la même façon : on regarde de combien elle varie pendant un petit intervalle de temps. Dans toute la page, la position est en bleu, la vitesse en orange et l'accélération en violet. Rappel utile : 1 m/s = 3,6 km/h.

Une voiture parcourt 600 m en 60 s (film accéléré six fois). Les points bleus sous la route marquent sa position toutes les 5 secondes, comme sur une chronophotographie : serrés au départ, espacés au milieu, de nouveau serrés à l'arrivée. La flèche orange est la vitesse, la flèche violette l'accélération.

Horloge—

Où ? — position—

À quelle vitesse ? — vitesse—

Comment évolue-t-elle ? — accélération—

À retenir. Tant que la flèche violette pointe dans le sens du mouvement, la voiture accélère ; quand elle s'inverse, à mi-parcours, la voiture freine, alors qu'elle roule toujours vers l'avant. L'accélération dit comment la vitesse change, pas dans quel sens on avance.

Planche 1

Où se trouve l'objet ? — Tout dépend d'où l'on regarde

Dire « où » suppose de dire « par rapport à quoi ». On appelle référentiel un objet de référence (ici le quai, ou bien le bateau), muni d'un repère — une origine et des axes gradués — et d'une horloge. La position de l'objet est le point qu'il occupe dans ce repère à chaque instant ; l'ensemble des positions successives forme sa trajectoire.

L'expérience est celle que Galilée décrit en 1632 : on lâche une bille du haut du mât d'un bateau qui avance à vitesse constante. Aristote pensait que la bille tomberait en arrière du mât, puisque le bateau avance pendant la chute. Lâchez-la et regardez la scène des deux façons.

Vitesse du bateau V Hauteur du mât H

Trait bleu : la trajectoire réellement suivie par la bille dans le référentiel choisi. Pointillé rouge : la prédiction d'Aristote (la bille lâchée « oublierait » la vitesse du bateau). Les piquets gradués sont fixés au quai.

Changement de référentiel (Galilée) : x_quai = x_bateau + V·t

Durée de chute, mesurée (dichotomie sur la hauteur)—

Point d'impact, repère du quai—compté depuis le point de lâcher

Point d'impact, repère du bateau—au pied du mât

Longueur de trajectoire, quai (Simpson)—

Longueur de trajectoire, bateau—une verticale : exactement H

Vitesse à l'impact, quai (différences finies)—

Vitesse à l'impact, bateau (différences finies)—

Ce qu'il faut voir. Changer de référentiel change la position (la bille tombe « à 0 m » pour le marin, « plus loin » pour le promeneur), la forme de la trajectoire (une verticale ou une parabole), sa longueur, et même la vitesse. Une seule chose ne change pas : la durée de la chute. En mécanique classique, le temps est le même pour tous les observateurs. Et la bille tombe bien au pied du mât, quelle que soit la vitesse : Aristote avait tort, car la bille garde la vitesse horizontale du bateau.

Planche 2

À quelle vitesse se déplace-t-il ? — De la moyenne à l'instant

Reprenons la voiture de l'introduction : 600 m en 60 s. Sa vitesse moyenne est 600 ÷ 60 = 10 m/s, soit 36 km/h. Pourtant le compteur n'affiche presque jamais 36 : il part de zéro, monte, redescend. Ce que montre le compteur, c'est la vitesse instantanée.

Entre deux instants séparés de Δt, la voiture parcourt Δx ; la vitesse moyenne sur cet intervalle est Δx/Δt. Sur le graphique de la position en fonction du temps, c'est la pente de la corde qui joint les deux points. Faites maintenant rétrécir Δt : la corde pivote et se couche sur la tangente. La pente de la tangente est la vitesse instantanée.

v_moy = Δx / Δt ⟶ v(t) = limite de Δx/Δt quand Δt → 0 = dx/dt

Instant t₀ Intervalle Δt

Courbe bleue : la position x(t). Corde orange : elle joint les instants t₀ et t₀ + Δt, sa pente est la vitesse moyenne. Droite rouge : la tangente en t₀, sa pente est la vitesse instantanée.

Intervalle Δt / distance parcourue Δx—

Vitesse moyenne Δx/Δt (pente de la corde)—

Vitesse instantanée v(t₀) (pente de la tangente)—

Écart vitesse moyenne − vitesse instantanée—

Écart ÷ Δt—tend vers la moitié de l'accélération

Moitié de l'accélération a(t₀)/2—

Ce qu'il faut voir. Quand Δt est grand, la vitesse moyenne peut être très loin de ce qu'indique le compteur. Quand Δt rétrécit, l'écart fond proportionnellement à Δt : diviser l'intervalle par dix divise l'erreur par dix, et le rapport écart/Δt se fixe sur la moitié de l'accélération. La vitesse instantanée est donc une limite ; en mathématiques, on l'appelle la dérivée de la position par rapport au temps.

Planche 3

Comment sa vitesse évolue-t-elle ? — L'accélération

L'accélération est à la vitesse ce que la vitesse est à la position : elle mesure de combien la vitesse change chaque seconde. Une accélération de 2 m/s² signifie que la vitesse gagne 2 m/s à chaque seconde ; une accélération négative signifie que la vitesse diminue, c'est un freinage.

On peut aussi faire le chemin dans l'autre sens, et c'est l'idée géniale de Nicole Oresme vers 1350 : sur le graphique de la vitesse, l'aire sous la courbe est la distance parcourue ; sur le graphique de l'accélération, l'aire sous la courbe est la variation de vitesse. Les trois graphiques ci-dessous sont empilés sur le même axe du temps.

a = dv/dt · x(t) − x(0) = aire sous v · v(t) − v(0) = aire sous a

Instant t

En haut, l'objet. Puis, de haut en bas : la position, la vitesse et l'accélération au cours du temps. Les zones teintées sont les aires accumulées depuis t = 0 jusqu'à l'instant courant.

Position x(t)—

Vitesse v(t)—

Accélération a(t)—

Aire sous v, de 0 à t (Simpson)—

Aire sous a, de 0 à t (Simpson)—

——

—

Planche 4

Dans le plan — les trois grandeurs deviennent des flèches

Dès que l'objet ne se déplace plus sur une droite, un seul nombre ne suffit plus : il en faut deux (abscisse et ordonnée). La position devient un vecteur, une flèche qui va de l'origine à l'objet. La vitesse est aussi une flèche : elle est toujours tangente à la trajectoire et sa longueur donne l'allure. L'accélération, elle, peut pointer dans une tout autre direction : elle indique de quel côté la vitesse est en train de tourner ou de grandir.

Un ballon lancé en l'air (on néglige l'air). Son accélération est la même partout : 9,81 m/s² vers le bas. La vitesse horizontale ne change donc jamais ; seule la vitesse verticale diminue, s'annule au sommet, puis devient négative.

Vitesse de lancer v₀ Angle de tir α

Flèche orange : la vitesse, avec ses deux composantes en pointillé (horizontale constante, verticale variable). Flèche violette : l'accélération, toujours verticale et de même longueur. Pointillé gris : le tir à l'angle complémentaire 90° − α.

Portée, mesurée (dichotomie sur y = 0)—

Hauteur maximale, mesurée (section dorée)—

Vitesse au sommet, mesurée—

Durée du vol—

Portée à l'angle complémentaire—

Une voiture sur un rond-point circulaire. Même si le compteur reste bloqué sur la même valeur, la voiture accélère : la flèche vitesse tourne sans cesse, et une vitesse qui change de direction est une vitesse qui change. Cette accélération pointe vers le centre ; on la dit centripète et elle vaut v²/R. Si le conducteur appuie en plus sur l'accélérateur, une seconde composante apparaît, le long de la route.

Rayon R Vitesse initiale Accélération le long de la route

Flèche orange : la vitesse, tangente au cercle. Flèche violette : l'accélération totale ; en pointillé violet, ses deux composantes — vers le centre (v²/R) et le long de la route. Les longueurs des flèches violettes sont à la même échelle entre elles.

Vitesse (compteur)—

Composante vers le centre v²/R—

Composante le long de la route—

|a| mesurée sur les positions (différences finies)—

Angle entre a et la direction du centre—

Ce qu'il faut voir. Dans le tir, la vitesse n'est jamais nulle, même au sommet : il reste la composante horizontale, v₀·cos α. À 45° la portée est maximale, et deux angles complémentaires (30° et 60°, par exemple) donnent la même portée. Dans le virage, « rouler à vitesse constante » et « ne pas accélérer » ne sont pas la même chose : dès que la trajectoire tourne, l'accélération est non nulle et dirigée vers l'intérieur du virage.

Planche 5 · signature

Le chemin inverse — retrouver sa position les yeux fermés

Jusqu'ici, on connaissait la position et l'on en déduisait la vitesse puis l'accélération. Une centrale inertielle fait exactement l'inverse. Enfermée dans un avion, un sous-marin, une fusée ou un téléphone, elle ne voit rien de l'extérieur : elle mesure seulement l'accélération, grâce à des accéléromètres. En additionnant les petites variations de vitesse, elle reconstitue la vitesse ; en additionnant les petits déplacements, elle reconstitue la position. C'est la cinématique lue à l'envers.

Pour démarrer, il lui faut la position et la vitesse de départ (les conditions initiales). Ensuite, la moindre erreur de mesure s'accumule. Ci-dessous, une voiture fait deux tours d'un circuit en huit en 120 s ; son accéléromètre a un petit biais (une erreur constante) et du bruit (une erreur aléatoire à chaque mesure).

Biais de l'accéléromètre Bruit (écart-type) Mesures par seconde Recalage GPS

Bleu : le vrai trajet. Orange : la position reconstituée par la centrale à partir de ses seules mesures d'accélération. Trait rouge : l'erreur à l'instant courant. Points verts : les recalages GPS.

Rouge : la distance entre la vraie position et la position estimée, au cours du temps. Pointillé vert : ce que prévoit le seul biais, ½·b·t² (remis à zéro à chaque recalage).

Erreur de position à la fin (120 s)—

Part prévue pour le biais : ½·b·τ²—

Erreur maximale sur le parcours—

Exposant mesuré, biais seul (pente log-log de 30 s à 120 s)—une erreur en t² donne 2

Ordre de la méthode, sans biais ni bruit—

Monte-Carlo : erreur quadratique moyenne due au bruit—cliquez sur « Lancer 300 trajets »

Ce qu'il faut voir. Un biais de 1 cm/s² — un millième de la pesanteur — semble dérisoire. Mais il crée une erreur de vitesse qui grandit comme t, donc une erreur de position qui grandit comme t² : attendre deux fois plus longtemps multiplie l'erreur par quatre. Le bruit, lui, s'accumule plus lentement, comme t^3/2, et se réduit quand on mesure plus souvent. Voilà pourquoi aucune centrale inertielle ne navigue seule longtemps : avions, navires et fusées la recalent régulièrement sur une position connue (étoiles, balises, GPS). Essayez le recalage toutes les 10 s : l'erreur reste bornée.

Une brève histoire de la description du mouvement

vers −350Aristote distingue les mouvements « naturels » (la pierre qui tombe) et « violents » (la pierre lancée). Pour lui, un objet lâché d'un mât en marche doit tomber en arrière.
vers 1330Les « calculateurs » du Merton College d'Oxford donnent un sens à la vitesse à un instant et énoncent la règle de la vitesse moyenne : un mouvement uniformément accéléré parcourt la même distance qu'un mouvement uniforme à la vitesse du milieu.
vers 1350Nicole Oresme, à Paris, dessine la vitesse en fonction du temps et démontre la règle précédente par une aire : c'est l'ancêtre du graphique de la planche 3.
1604Galilée découvre que, dans une chute, les distances parcourues croissent comme le carré des durées. En 1632, dans son Dialogue, il imagine la bille lâchée du mât du navire : le mouvement est relatif (planche 1).
1637Descartes fait du repère et des coordonnées l'outil de la géométrie : la position devient un couple de nombres.
1684–1687Leibniz puis Newton publient le calcul différentiel : la vitesse devient une dérivée (planche 2), et Newton fonde la dynamique, qui relie l'accélération aux forces.
1834André-Marie Ampère propose le mot « cinématique » pour la science du mouvement considéré indépendamment des forces qui le produisent.
1878–1882Muybridge photographie le galop d'un cheval ; Étienne-Jules Marey invente la chronophotographie, qui fixe sur une même image les positions successives d'un corps (introduction).
1905Einstein montre que le temps lui-même dépend du référentiel quand les vitesses approchent celle de la lumière : la durée de chute de la planche 1 cesse d'être la même pour tous.
années 1960Les centrales inertielles guident sous-marins, avions et fusées ; celle d'Apollo est recalée sur les étoiles par les astronautes (planche 5).

En résumé

Où ? — la position

Elle n'a de sens que dans un référentiel : un objet de référence, un repère, une horloge. Changer de référentiel change la position, la trajectoire et la vitesse, mais pas la durée des phénomènes (tant qu'on reste loin de la vitesse de la lumière).

À quelle vitesse ? — la vitesse

C'est la limite de la vitesse moyenne Δx/Δt quand l'intervalle rétrécit : la dérivée de la position, la pente de la tangente. Dans le plan, c'est une flèche toujours tangente à la trajectoire.

Comment évolue-t-elle ? — l'accélération

C'est la dérivée de la vitesse. Elle peut freiner l'objet (sens opposé au mouvement) ou le faire tourner (vers l'intérieur du virage). À l'inverse, les aires sous les courbes remontent de l'accélération à la vitesse, puis à la position.

Pour aller plus loin

Les formules du mouvement uniformément accéléré (accélération a constante) : v = v₀ + a·t ; x = x₀ + v₀·t + ½·a·t² ; et, sans le temps, v² − v₀² = 2·a·(x − x₀). C'est cette dernière qui donne la distance de freinage v₀²/(2a) de la planche 3 : doubler la vitesse quadruple la distance de freinage.

La décomposition de l'accélération dans le plan : une composante le long de la trajectoire, dv/dt, qui change l'allure, et une composante perpendiculaire, v²/R, qui change la direction (R est le rayon du cercle qui épouse la courbe au point considéré).

Au-delà de l'accélération : on peut dériver encore. La dérivée de l'accélération s'appelle la secousse (en anglais jerk) ; c'est elle que l'on ressent comme un à-coup dans un ascenseur ou un tramway, et que les ingénieurs limitent pour le confort.

Et ensuite ? La dynamique reprend là où la cinématique s'arrête : la deuxième loi de Newton, F = m·a, relie l'accélération — que l'on sait maintenant décrire — aux forces qui la produisent.