Calculer de tête, ce n'est pas poser l'opération dans sa tête : c'est la transformer en une autre, plus facile, qui donne le même résultat — puis vérifier sans tout refaire.
Pourquoi des méthodes ?
La mémoire de travail ne garde que quelques nombres à la fois. Poser 47 × 36 « comme sur le papier » oblige à retenir deux lignes de produits partiels et plusieurs retenues : c'est trop. Le calculateur mental fait autre chose : il change le calcul avant de le faire, pour n'avoir à manipuler que des nombres ronds ou très petits. Cinq idées couvrent presque tous les cas ; chacune a sa planche.
Idée
En une phrase
Exemple
Planche
Décomposer
couper un nombre en dizaines et unités, multiplier les morceaux
47 × 6 = 240 + 42 = 282
1
Compenser
arrondir, calculer, puis corriger le petit écart
457 + 198 = 657 − 2 = 655
2
Reconnaître une identité
(m − d)(m + d) = m² − d²
47 × 53 = 2 500 − 9 = 2 491
3
Changer de chemin
moitié-double, × 25 = × 100 ÷ 4, × 11…
16 × 35 = 8 × 70 = 560
4
Vérifier
comparer les restes de la division par 9 et par 11
347 × 286 : 5 × 7 = 35 → 8, et 99 242 → 8
5
Tous les résultats affichés dans la page sont recalculés par l'ordinateur d'une seconde façon (le produit direct) ; l'écart affiché doit toujours être nul.
1
Décomposer : le rectangle qu'on découpe
Première idée, la plus utile : on ne multiplie jamais deux nombres « d'un bloc ». On coupe chacun en dizaines et en unités, on multiplie les morceaux deux à deux, puis on additionne. La règle s'appelle la distributivité : (a + b) × (c + d) = ac + ad + bc + bd. Sa figure est un rectangle : 47 × 36, c'est le nombre de petits carrés d'un rectangle de 47 lignes sur 36 colonnes, et ce nombre ne change pas quand on découpe le rectangle en quatre.
Chaque petit carré vaut 1 ; les traits plus marqués séparent les dizaines. Bleu : dizaines × dizaines ; violet et orange : dizaines × unités ; vert : unités × unités.
Morceaux à calculer—
Somme des morceaux—
Produit calculé directement—
Écart—
Part du plus gros morceau—
Part moyenne, tous les couples de 11 à 99—
Tout le calcul mental des produits repose sur cette figure : l'aire ne change pas quand on découpe le rectangle. L'ordre compte : on commence par le plus gros morceau, dizaines × dizaines, qui donne à lui seul l'ordre de grandeur (71 % du résultat pour 47 × 36, 79 % en moyenne sur tous les produits de deux nombres de 11 à 99) ; les morceaux suivants ne font qu'affiner. Quand un seul des deux nombres est difficile, on ne découpe que lui : 47 × 6 = 240 + 42, deux morceaux au lieu de quatre.
2
Arrondir puis corriger : la compensation
Un nombre comme 198 ou 49 est « presque rond ». On calcule d'abord avec le nombre rond voisin (200, 50), ce qui est facile, puis on corrige de la petite différence. Ajouter 198, c'est ajouter 200 puis retirer 2 ; multiplier par 49, c'est multiplier par 50 puis retirer une fois le nombre. Sur la droite graduée, on fait un grand saut rond, puis un petit pas de correction.
En bleu, le saut rond ; en rouge, le petit pas de correction ; en vert, le résultat.
Nombre rond utilisé—
Sens de la correction—
Résultat par compensation—
Calcul direct—
Écart—
On échange un calcul avec retenues contre un calcul rond suivi d'une petite correction. Le seul piège est le sens de la correction : si l'on a ajouté trop (200 au lieu de 198), on retire l'excès ; si l'on a retiré trop (300 au lieu de 297), on le rend. En multiplication, l'excès se paie autant de fois qu'il y a de lignes : 37 × 49 = 37 × 50 − 37. La méthode n'est rentable que si la correction est petite ; essayez b = 150 arrondi à la centaine : la correction vaut autant que le calcul.
3
Les identités remarquables, des découpages tout faits
Certains produits cachent une forme connue. Deux nombres placés symétriquement autour d'un nombre rond, comme 47 et 53 autour de 50, se multiplient par la formule (m − d)(m + d) = m² − d². Les carrés des nombres terminés par 5 et les carrés en général en découlent. Chaque formule est ici un rectangle que l'on recoupe : on déplace un seul morceau, l'aire ne change pas.
Le rectangle (m + d) × (m − d) : on détache la bande orange de largeur d, on la fait pivoter et on la pose en haut. On obtient le carré m × m auquel il manque le petit carré d × d (pointillé rouge).
m²—
d² (le coin qui manque)—
m² − d²—
Produit direct—
Écart—
Le carré de côté 10n + 5 : la bande orange de droite pivote et se pose en haut. Il reste un rectangle 10n × 10(n + 1), soit n(n + 1) centaines, et le petit carré vert 5 × 5 = 25.
n × (n + 1)—
Résultat lu : n(n + 1) puis 25—
Carré calculé directement—
Écart—
Même figure lue à l'envers : le carré de x est le rectangle (x + d)(x − d), dont un côté est rond, plus le petit carré vert d². On choisit d pour tomber sur la dizaine la plus proche.
Écart d à la dizaine—
(x + d)(x − d)—
+ d²—
x² calculé directement—
Écart—
Une identité remarquable est un découpage déjà fait : au lieu de quatre morceaux (planche 1), il n'en reste que deux, dont un rond. 47 × 53 devient 2 500 − 9 ; 65² devient « 6 × 7 = 42, puis 25 », soit 4 225 ; 47² devient 50 × 44 + 9 = 2 209. La condition à repérer : pour la première formule, les deux nombres doivent avoir un milieu rond, donc être tous deux pairs ou tous deux impairs.
4
Changer de chemin : doubler, diviser, multiplier par 5, 25 ou 11
Un produit peut s'écrire de bien des façons : 16 × 35 = 8 × 70 = 4 × 140. On choisit celle où l'un des facteurs devient rond. Ces astuces reposent toutes sur le même principe : si l'on divise un facteur par un nombre et qu'on multiplie l'autre par le même nombre, le produit ne change pas.
À chaque étape, le rectangle perd la moitié de sa hauteur et gagne le double de largeur : sa forme change, son aire reste la même. Les rectangles en pointillé sont les étapes entières.
Aire mesurée pendant l'animation—
Dérive relative de l'aire—
Produit direct—
À gauche on divise par deux en jetant les demis, à droite on double. On barre les lignes où le nombre de gauche est pair, et on additionne ce qui reste à droite.
Premier nombre en base deux—
Somme des lignes gardées—
Produit direct—
Écart—
× 25, c'est × 100 puis on partage en 4 : la barre du haut vaut n × 100, chaque barre suivante est la moitié de la précédente.
Résultat par partage—
Produit direct—
Écart—
n × 11 = n × 10 + n : chaque chiffre du résultat est la somme de deux chiffres voisins de n. Au-delà de 9, on garde l'unité et on reporte la retenue (en rouge) à gauche.
Retenues—
Résultat lu—
Produit direct—
Écart—
Toutes ces astuces sont une seule règle : a × b = (a ÷ k) × (b × k). Moitié-double prend k = 2 ; × 25 prend « × 100 puis ÷ 4 » ; le paysan russe pousse la moitié-double jusqu'au bout, en notant ce qu'il perd quand le nombre est impair — ce qu'il additionne à la fin, ce sont les puissances de deux qui composent le premier nombre (37 = 32 + 4 + 1). Le scribe égyptien du papyrus Rhind multipliait déjà ainsi.
5
Vérifier sans tout refaire : la preuve par 9 et la preuve par 11
Un résultat obtenu de tête se vérifie mieux par une autre voie que par le même calcul. La preuve par neuf remplace chaque nombre par le reste de sa division par 9, que l'on obtient en additionnant ses chiffres. Si le reste du produit ne correspond pas au produit des restes, le résultat est faux à coup sûr. Mais la réciproque est fausse : certaines erreurs passent inaperçues. Lesquelles, et combien ? La preuve par onze, qui utilise la somme alternée des chiffres, bouche justement ces trous.
Dans chaque croix : à gauche le reste du premier facteur, à droite celui du second, en haut le reste de leur produit, en bas le reste du résultat proposé. Haut et bas doivent coïncider.
Résultat proposé—
Résultat exact—
Verdict de la preuve par 9—
Verdict de la preuve par 11—
Pour chaque type d'erreur, l'ordinateur tire au hasard des produits de deux nombres de 100 à 999, fabrique l'erreur, puis applique les preuves. Barres : taux d'erreurs détectées, mesuré. Trait noir : taux prévu par le calcul exact.
Plus grand écart mesure − prévision—
Écart rapporté à la fluctuation attendue—
Multiplications tirées au total—
Deux horloges. Sur celle à 9 cases, chaque chiffre fait avancer l'aiguille d'autant de cases. Sur celle à 11 cases, on part des unités et l'on avance, recule, avance… L'aiguille s'arrête sur le reste de la division.
Aiguille de l'horloge à 9—
Reste de la division par 9—
Aiguille de l'horloge à 11—
Reste de la division par 11—
La preuve par neuf est aveugle aux deux erreurs les plus fréquentes du calcul posé : deux chiffres inversés et une ligne décalée d'un rang ne changent pas le reste par 9 (0 % détecté, mesuré comme prévu), parce qu'ils modifient le résultat d'un multiple de 9. La preuve par onze les voit : 100 % des inversions, et 91 % des lignes décalées (elle ne rate que les cas où le premier facteur est un multiple de 11). Face à un résultat faux quelconque, chacune laisse passer environ une erreur sur dix ; les deux ensemble, une sur cent.
S'entraîner
Choisissez une méthode : l'ordinateur propose un calcul adapté, chronomètre la réponse et, juste ou fausse, montre le chemin de la méthode. Rien n'est enregistré : le compteur repart de zéro au rechargement de la page.
—
Calculs faits0
Réponses justes0
Temps moyen d'une réponse juste—
Repères historiques
vers 1800 av. J.-C.Babylone. Les scribes disposent de tables de carrés ; on pense qu'elles servaient aussi à multiplier, grâce à ab = ((a + b)² − (a − b)²) ÷ 4, cousine de la formule de la planche 3.
vers 1550 av. J.-C.Le papyrus Rhind, copié par le scribe Ahmès, multiplie par doublements successifs : c'est la méthode dite plus tard « du paysan russe » (planche 4).
1202Fibonacci expose dans le Liber abaci la preuve par neuf, héritée des calculateurs indiens et arabes, ainsi que des preuves par 7 et par 11.
1894Alfred Binet publie la Psychologie des grands calculateurs et joueurs d'échecs, où il étudie le calculateur prodige Jacques Inaudi.
1960Publication du système Trachtenberg, méthode de calcul rapide mise au point par Jakow Trachtenberg pendant sa détention.
aujourd'huiLe calcul mental ne rivalise plus avec la calculatrice ; il sert à l'ordre de grandeur. Savoir d'avance que 47 × 36 fait « un peu moins de 1 700 » suffit à repérer une faute de frappe.
En résumé
Découper
Multiplier, c'est compter les carrés d'un rectangle ; on le découpe en morceaux faciles et l'on additionne, du plus gros au plus petit.
Transformer
Arrondir puis corriger, reconnaître m² − d², diviser un facteur et multiplier l'autre : on remplace le calcul par un autre, plus rond, au même résultat.
Vérifier
Le reste par 9 se lit sur la somme des chiffres, le reste par 11 sur la somme alternée. Ensemble, ils ne laissent passer qu'environ une erreur quelconque sur cent.
Pour aller plus loin
Deux nombres proches de 100. Pour 97 × 96, on note ce qui manque à chacun pour faire 100 (3 et 4). On retire l'un des manques à l'autre nombre : 97 − 4 = 93 ; on multiplie les manques : 3 × 4 = 12. Résultat : 9 312. C'est l'identité (100 − 3)(100 − 4) = 100 × (100 − 3 − 4) + 3 × 4.
Diviser par 5. Diviser par 5, c'est multiplier par 2 puis diviser par 10 : 435 ÷ 5 = 870 ÷ 10 = 87.
Pourcentages. 15 % d'un prix, c'est 10 % plus la moitié de 10 % : pour 84 €, 8,40 + 4,20 = 12,60 €.
Additionner de gauche à droite. Pour 368 + 457, on ajoute d'abord les centaines (768), puis les dizaines (818), puis les unités (825) : on connaît l'ordre de grandeur dès le premier pas, à l'inverse de l'addition posée.
Preuve par 7. Fibonacci utilisait aussi le reste par 7. Il se calcule moins facilement de tête, mais il voit presque toutes les inversions de chiffres voisins : une inversion change le résultat de 9 × (écart des deux chiffres) × une puissance de 10, qui n'est un multiple de 7 que si les deux chiffres diffèrent de 7.