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Analyse

Le calcul infinitésimal

Vers 1670, Newton et Leibniz se mettent à calculer avec des quantités plus petites que toute grandeur, sans être nulles. L'idée est scandaleuse — un siècle plus tard l'évêque Berkeley les appellera « les fantômes des quantités défuntes » — mais elle marche : elle donne les tangentes, les aires, les longueurs, les volumes, la mécanique entière. Cette page ne raconte pas l'histoire : elle refait les calculs.

Planche 1

Le triangle caractéristique

Leibniz place sur la courbe deux points infiniment voisins. Entre eux, un petit triangle rectangle de côtés dx et dy : le triangle caractéristique. Son hypoténuse est un morceau de la courbe — et si les deux points sont assez proches, c'est un morceau de droite. Réduisez dx et regardez la fenêtre de droite : la courbe s'y redresse.

la courbe la corde MN et le triangle dx, dy la tangente en M fenêtre de droite : grossissement autour de M
GrandeurMesureContrôle
dx (côté horizontal)——
dy = f(M+dx) − f(M)——
rapport dy/dx (pente de la corde)—pente de la tangente —
écart corde − tangente—tend vers 0 comme dx
(écart) / dx—f″(M)/2 = —
grossissement de la fenêtre—écart de la courbe à sa tangente, à l'écran : —
Ce que dit la dernière ligne. Dans la fenêtre grossie, la courbe et sa tangente ne se séparent plus que de quelques centièmes de pixel : à cette échelle, la courbe est sa tangente. Voilà tout le calcul infinitésimal. Le rapport dy/dx n'est pas « zéro divisé par zéro » : c'est un rapport parfaitement ordinaire entre deux longueurs non nulles, dont on suit la valeur quand on rétrécit le triangle. Et ce rapport, lui, ne rétrécit pas : il se stabilise.
Planche 2

Pourquoi l'on a le droit de jeter dx²

Le geste fondateur, celui qui a fait crier tout le XVIIIe siècle : dans (x + dx)² = x² + 2x·dx + dx², on efface le terme dx². À gauche, la figure de Leibniz : le carré s'agrandit de deux rectangles allongés et d'un petit carré de coin. À droite, le même fait en échelle logarithmique, sur les restes successifs du développement de Taylor.

le carré de départ x² les deux rectangles 2x·dx (ordre 1) le carré de coin dx² (ordre 2)
GrandeurMesureContrôle
accroissement total (x+dx)² − x²——
part des deux rectangles 2x·dx—soit — du total
part du carré de coin dx²—soit — du total
rapport du coin aux rectangles—c’est dx/(2x) : il s’évanouit avec dx
pentes log-log des restes r₀, r₁, r₂—attendu 1 · 2 · 3
r₁/dx² pour le dx courant—tend vers f″(x)/2 = — quand dx → 0
Négligeable ne veut pas dire petit. Le carré de coin n'est pas jeté parce qu'il serait petit dans l'absolu — les deux rectangles le sont tout autant. Il est jeté parce que son rapport à eux, qui vaut dx/(2x), tend vers zéro. Un infiniment petit d'ordre 2 est négligeable devant un infiniment petit d'ordre 1, comme une pièce d'un centime devant un billet qui rétrécit lui aussi : c'est le rapport qui décide, jamais la taille. Les pentes 1, 2, 3 mesurées à droite sont la preuve chiffrée qu'il y a bien des ordres de petitesse, et non une bouillie de petites quantités.
Planche 3

Les différentielles se transportent et se simplifient

La notation de Leibniz a gagné celle de Newton pour une seule raison : elle calcule toute seule. Si y dépend de u qui dépend de x, on écrit dy/dx = (dy/du)·(du/dx) et les du « se simplifient » comme dans une fraction. Est-ce un abus d'écriture ou un fait ? Les trois axes ci-dessous portent les vrais segments dx, du, dy, grossis pour être visibles.

l'axe des x et le segment dx l'axe intermédiaire u et le segment du l'axe des y et le segment dy le trajet d'un point
GrandeurMesureContrôle
du/dx mesuré sur les segments——
dy/du mesuré sur les segments——
produit des deux rapports——
dy/dx mesuré directement, sans passer par u—écart au produit : — — les du se simplifient exactement
dérivée exacte de la composée——
écart du rapport mesuré à la dérivée exacte—divisé par dx : — — l’écart est d’ordre 1
(dy/dx) × (dx/dy) pour la réciproque—exactement 1
Ce n'est pas un abus d'écriture. Les trois segments dessinés existent vraiment : ce sont des longueurs, et le produit de deux rapports de longueurs est le rapport des extrêmes, sans aucune magie. Le seul point délicat est que du n'est pas exactement l'accroissement de u, mais son approximation linéaire — l'écart entre les deux est d'ordre 2, donc précisément la quantité que la planche précédente autorise à jeter. Toute la puissance de Leibniz tient dans ce transfert de responsabilité : la notation fait le calcul, la théorie des ordres justifie la notation.
Planche 4

Additionner une infinité d'infiniment petits

L'autre moitié du calcul infinitésimal est l'opération inverse : au lieu de découper pour trouver un rapport, on découpe pour sommer. Le signe ∫ est un S allongé, pour summa. La recette est toujours la même : tranchez, faites comme si sur chaque tranche la grandeur était constante ou droite, additionnez, puis affinez le découpage.

GrandeurMesureContrôle
élément infinitésimal——
somme des n tranches——
valeur exacte——
écart——
écart × n2—se stabilise : c'est l'ordre de la méthode
La ligne à surveiller est la dernière. L'écart, seul, ne dit rien : il tend vers zéro, c'est tout. Multiplié par n à la bonne puissance, il se fige sur une constante. C'est la signature de l'infiniment petit : ce n'est pas la quantité qui compte, c'est la vitesse à laquelle elle s'annule. Une somme de n tranches d'ordre 1/n² donne un écart d'ordre 1/n, et une infinité de tranches donne une valeur exacte.
Planche 5 · signature

L'infiniment petit qui n'est pas zéro

Berkeley avait raison sur un point : le raisonnement de Leibniz, pris à la lettre, se contredit. On divise par dx (donc dx ≠ 0), puis on efface dx (donc dx = 0). Trois volets pour instruire ce procès. Le premier met en scène l'accusation. Le deuxième montre que le fantôme est bien réel — une machine qui prend dx « vraiment petit » se trompe catastrophiquement. Le troisième construit un nombre qui n'est ni nul ni ordinaire, et qui calcule les dérivées exactement.

  1. Partons de f(x) = x². On donne à x un accroissement o, non nul.
  2. f(x + o) − f(x) = 2x·o + o². Cet accroissement est une vraie quantité.
  3. On divise par o. Cette division n'a de sens que si o ≠ 0.
  4. Le quotient vaut 2x + o, exactement, sans approximation.
  5. « Que o s'évanouisse » : il reste 2x. Mais alors o était nul…
  6. … et l'on a divisé par zéro trois lignes plus haut. C'est le fantôme.
  7. Sortie moderne : on ne fait jamais o = 0. On regarde où va 2x + o.
GrandeurValeurCommentaire
accroissement o—strictement positif à toutes les étapes
quotient (f(x+o) − f(x))/o—vaut 2x + o, exactement
limite affichée 2x—jamais atteinte, toujours approchée
Le procès, un siècle et demi plus tard. C'est Cauchy (1821) puis Weierstrass qui referment le dossier, en remplaçant « o s'évanouit » par un énoncé qui ne parle plus que de quantités non nulles : pour toute tolérance ε, il existe un seuil δ tel que… Le fantôme est congédié, et le calcul de Leibniz, lui, ne bouge pas d'une virgule. C'est la marque des grandes idées mathématiques : elles sont justes avant d'être justifiables.