Croyance à deux étages · fusion d'opinions
Deux avis, quatre nombres, et une croyance qui a une largeur.
Dire « 0,5 avec 80 % de confiance », c'est refuser de résumer sa croyance à un point. C'est décrire une courbe. Et deux courbes, ça se fusionne — la nouvelle probabilité vaut 0,577 et la nouvelle confiance 84,6 %.
Un événement E. Chacun de nous avance un chiffre et dit à quel point il y tient.
La confiance, ce n'est pas un adverbe : c'est une largeur
Dans la version simple du problème, ma croyance était un point sur l'axe [0, 1]. Ajouter une confiance, c'est reconnaître que ce point est lui‑même incertain : il y a une « vraie » propension θ que l'événement se réalise, et je ne la connais pas exactement. Ma croyance devient donc une distribution sur θ — une courbe, dont l'abscisse moyenne est ma probabilité et dont l'étalement est l'inverse de ma confiance.
La famille naturelle pour cela est la loi Beta(α, β), parce qu'elle a une lecture immédiate : α − 1 succès et β − 1 échecs observés, par‑dessus une ignorance de départ Beta(1, 1). D'où la traduction qui fait tourner toute la page :
Le 2 au numérateur est le poids de l'ignorance initiale (les deux unités de Beta(1, 1)). Une confiance de 0 % ne s'appuie sur rien ; une confiance de 50 % pèse autant que l'ignorance elle‑même ; une confiance de 100 % demanderait une infinité d'observations, ce qui est la bonne façon de dire qu'on ne l'atteint jamais.
| Confiance annoncée | Observations équivalentes n | Ce que ça veut dire |
|---|---|---|
| 20 % | 0,5 | une impression, à peine plus qu'un pur préjugé |
| 50 % | 2 | autant d'appui que de vide |
| 60 % — l'ami | 3 | trois observations dans son sac |
| 80 % — moi | 8 | huit observations : je pèse près de trois fois plus |
| 90 % | 18 | un dossier solide |
| 99 % | 198 | quasi‑certitude sur la propension elle‑même |
C'est ici, et nulle part ailleurs, que se joue le résultat. « 80 % » n'a pas de sens tant qu'on n'a pas dit à combien d'observations cela équivaut. J'ai retenu la convention standard de la logique subjective (poids du prior = 2) ; avec un poids de 1 ou de 4, tous les chiffres de cette page se déplacent. Le raisonnement, lui, ne bouge pas.
Vider les deux sacs de cailloux
Chacun arrive avec un sac de n cailloux, les uns « pour », les autres « contre ». La probabilité annoncée fixe la répartition. Attention à ne pas écrire naïvement s = p·n : la moyenne d'une Beta(1+s, 1+f) vaut (1+s)⁄(2+n), l'ignorance initiale comptant pour un caillou de chaque bord. En inversant :
Le nombre de cailloux « pour » ne peut pas être négatif. Cela impose une relation entre les deux nombres que l'on annonce :
Autrement dit : l'audace d'une annonce a un prix en confiance. Avec 60 % de confiance on ne peut pas prétendre à plus de 0,80 ni à moins de 0,20 — le sac de trois cailloux ne le permet pas. Annoncer 0,95 exige au moins 90 % de confiance. Les curseurs de l'atelier font respecter cette règle d'eux‑mêmes : pousser la probabilité vers un bord relève automatiquement la confiance.
Le calcul : additionner les observations
Si son information et la mienne portent sur la même propension θ et proviennent de sources indépendantes, écouter mon ami revient exactement à voir trois observations de plus. Les cailloux s'additionnent. C'est ce que la logique subjective appelle la fusion cumulative, et ce n'est rien d'autre que le théorème de Bayes dans le cadre Beta‑binomial.
Convertir les deux confiances en observations
Répartir chaque sac
Réunir
Une seule ignorance de départ pour les deux : on additionne les observations, pas les a priori.
La nouvelle probabilité
Je monte de 0,50 à 0,577 : à peine plus d'un tiers du chemin vers son 0,70. Normal — je pèse 8 cailloux contre ses 3.
La nouvelle confiance
Elle monte, de 80 % à 84,6 % : j'ai plus de matière qu'avant. La courbe orange du graphique de tête est bien la plus étroite des trois.
Vérifier l'étalement
L'écart‑type d'une Beta(α, β) vaut √(αβ)⁄[(α+β)√(α+β+1)] :
En développant, la probabilité se lit d'un trait :
Et la confiance, plus surprenante, ne dépend que des deux confiances — jamais des probabilités annoncées. En posant u = 1 − c (l'ignorance résiduelle) :
Que mon ami me confirme ou me contredise, ma confiance finale sera la même. C'est une propriété forte du modèle — et discutable : on y revient en section 6.
L'atelier
Quatre curseurs, deux résultats. Essayez d'abord de baisser ma confiance à 50 % : mon ami reprend soudain la main.
Les contrôles de bon sens
Sauf mention, on garde p₀ = 0,50, c₀ = 80 %, q = 0,70, ca = 60 % et la fusion cumulative.
| Situation | Réglage | p₁ | c₁ | Lecture |
|---|---|---|---|---|
| Le cas de l'énoncé | — | 0,577 | 84,6 % | je bouge d'un tiers du chemin |
| Ami au minimum de crédit | ca = 40 % | 0,559 | 82,4 % | 40 % est le plancher imposé par son 0,70 |
| Ami très sûr de lui | ca = 95 % | 0,667 | 95,8 % | on retrouve presque le 0,66 du modèle sans confiance |
| Moi très sûr de moi | c₀ = 95 % | 0,523 | 95,3 % | ses trois cailloux se noient dans mes 38 |
| Moi très hésitant | c₀ = 50 % | 0,643 | 71,4 % | il devient la voix dominante |
| Il pense comme moi | q = 0,50 | 0,500 | 84,6 % | la probabilité ne bouge pas, la confiance oui |
| Il me contredit | q = 0,30 | 0,423 | 84,6 % | parfaitement symétrique |
La ligne « ami très sûr de lui » mérite un arrêt. En donnant à mon ami une confiance de 95 %, je lui accorde 38 observations contre mes 8 : sa voix couvre la mienne et j'atterris à 0,667. C'est presque le 0,66 qu'on obtient quand on traite la fiabilité sans modéliser aucune confiance. Les deux modèles se rejoignent là où le second cesse de faire ce qu'il sait faire de mieux : peser.
Quand la confiance devrait baisser
Deux objections sérieuses, qui vont dans des directions opposées.
Première objection : et si nous avions lu le même article ?
Additionner les cailloux suppose que son information et la mienne sont indépendantes. Si nous tenons tous deux notre avis de la même source, son sac n'est pas un second témoignage : c'est le mien renvoyé en écho. L'opérateur correct est alors la fusion moyennée, qui fait la moyenne des sacs au lieu de les additionner :
La probabilité bouge à peine, mais la confiance tombe sous mes 80 % de départ. C'est logique : si nous partageons la source, entendre un avis moins assuré que le mien sur la même base m'apprend surtout que la base est plus fragile que je ne croyais. Le bouton de l'atelier bascule entre les deux opérateurs.
Seconde objection : deux sens du mot « confiance »
La formule close de la section 3 le disait déjà : dans la fusion cumulative, c₁ ne dépend pas du fait qu'il me confirme ou me contredise. C'est parce que cette « confiance » mesure un poids d'information, un volume de cailloux. Mais on peut aussi entendre confiance comme précision de l'estimation, c'est‑à‑dire étroitesse de la courbe — et les deux se séparent en cas de conflit franc. Un exemple extrême :
| Probabilité | Confiance‑poids | Écart‑type | |
|---|---|---|---|
| Moi | 0,90 | 90 % | 0,065 |
| Lui | 0,10 | 90 % | 0,065 |
| Après fusion | 0,50 | 94,7 % | 0,080 |
La confiance‑poids monte (36 observations au lieu de 18) pendant que la courbe s'élargit (0,065 → 0,080). Les deux lectures divergent, et aucune des deux ne capte le vrai problème : face à deux témoignages assurés et diamétralement opposés, la conclusion raisonnable n'est pas « θ vaut 0,5 » mais « l'un des deux se trompe, et il faut chercher lequel ». Aucune fusion Beta ne sait dire cela ; il faudrait un modèle qui autorise l'hypothèse qu'une des sources est hors sujet.
C'est précisément le rôle que jouait la fiabilité r dans le modèle sans confiance : la probabilité que l'ami parle en l'air. Les deux approches sont complémentaires. La confiance c mesure combien il en sait ; la fiabilité r mesure s'il parle du bon sujet. Un modèle complet porterait les deux — et ne produirait plus de formule close.
Ce qui reste sous le tapis
- a Le poids du prior. Toute la page repose sur « confiance c ⟷ n = 2c/(1−c) observations ». Le 2 est une convention. Avec un poids de 1, ma confiance de 80 % ne vaudrait plus que 4 observations et l'ami reprendrait du poids relatif. Le résultat 0,577 est donc solide à ±0,02 près selon la convention, pas au millième.
- b La confiance de l'ami, ou la mienne en lui ? J'ai lu « je lui attribue une confiance de 60 % » comme le poids que je décide d'accorder à son sac. Si 60 % était sa confiance à lui, et que je le juge par ailleurs peu fiable, il faudrait composer les deux — et rabattre son n avant de l'additionner au mien.
- c Il ne connaît pas mon avis. Le modèle suppose son 0,70 formé sans avoir vu mon 0,50. S'il l'avait vu et maintenait 0,70, son témoignage vaudrait davantage : il aurait déjà intégré et écarté mon information.
- d Une seule propension. Beta suppose une grandeur θ stable dont nous échantillonnons tous deux. Pour un événement unique et daté — une élection, une signature de contrat — cette fiction est commode mais reste une fiction.
Ma probabilité passe de 0,50 à 0,577 et ma confiance de 80 % à 84,6 %, parce que trois observations de plus, ça déplace un peu et ça rassure un peu. Un ami hésitant ne renverse pas une opinion assise : il l'incline.