Un point unique pour résumer plusieurs points — et ce que cela coûte.
Donnez-vous des points A1, …, An et affectez à chacun un nombre mi appelé poids (une masse, un effectif, une importance). Si la somme des poids n'est pas nulle, il existe un point G et un seul tel que
m1·GA1 + m2·GA2 + ⋯ + mn·GAn = 0 soit G = ( Σ mi Ai ) / ( Σ mi ).
C'est le barycentre, noté bar{(A1,m1), …}. La formule de droite se calcule coordonnée par coordonnée ; celle de gauche dit ce qu'elle signifie : vu de G, les tirages de tous les points s'annulent. Les cinq planches qui suivent partent de deux points et d'une balance, puis vont jusqu'à une plaque trouée, une courbe de Bézier, et un cercle où le barycentre cesse d'exister.
Avec deux points seulement, G reste toujours sur la droite (AB) et la relation α·GA + β·GB = 0 se lit comme une règle du levier : les distances sont en raison inverse des poids, GA/GB = β/α. Déplacez A et B à la souris.
Les deux flèches rouges sont α·GA et β·GB : toujours de même longueur et de sens contraires. C'est cela, et rien d'autre, qui définit G.
La barre porte les deux masses à ses extrémités ; le curseur déplace le pivot. La barre ne reste horizontale que pour une seule position, celle du barycentre. Cette position est cherchée ici à l'aveugle, par dichotomie sur le moment résultant, puis comparée à la formule.
Avec trois points non alignés, tout point du plan est barycentre de A, B, C pour un choix de poids (α : β : γ) unique à un facteur multiplicatif près : ce sont ses coordonnées barycentriques. Les poids positifs donnent l'intérieur du triangle ; pour sortir, il faut au moins un poids négatif. Les trois droites du triangle découpent le plan en sept régions, une par combinaison de signes.
Le contrôle géométrique compare le point obtenu par les poids à la même construction faite autrement : intersection de deux médianes, de deux bissectrices, de deux médiatrices, de deux hauteurs. Les deux chemins tombent sur le même point à l'erreur d'arrondi près.
C'est la propriété qui fait toute la commodité du barycentre : on peut remplacer un paquet de points par leur barycentre partiel affecté de la somme de leurs poids, sans rien changer au résultat. Choisissez le découpage : le point rouge final ne bouge pas.
En mode médianes : G = bar{(A,1),(B,1),(C,1)} se regroupe en bar{(A,1),(M,2)} avec M milieu de [BC]. Donc G est sur la médiane issue de A, aux deux tiers — et par symétrie sur les trois. Le concours des médianes n'est pas un théorème de plus : c'est l'associativité.
Une plaque homogène est un barycentre d'une infinité de points, chacun pesant son élément d'aire. On n'a pourtant pas besoin d'intégrale : par associativité, on découpe la plaque en morceaux dont on connaît le centre, et l'on prend le barycentre de ces centres pondérés par les aires. Un trou compte comme une aire négative — et l'on retrouve les poids négatifs de la planche 2, cette fois avec un sens très concret.
Le fil à plomb ne suppose aucune formule : pour chaque point de suspension, l'orientation d'équilibre est cherchée en minimisant l'énergie potentielle sommée sur des dizaines de milliers de points de la plaque. Les deux verticales, reportées sur la plaque, se coupent au centre de masse — tout l'écart résiduel vient de la finesse du quadrillage, et non de la physique.
Prenez quatre points et faites varier continûment leurs poids : le barycentre décrit une courbe. Si les poids sont les polynômes de Bernstein Bi(t) — qui somment à 1 pour tout t — on obtient la courbe de Bézier, celle de toutes les polices de caractères et de tous les logiciels de dessin. L'algorithme de de Casteljau la construit sans jamais écrire un polynôme : rien que des barycentres de deux points, emboîtés.
Les poids de Bernstein restent tous positifs entre 0 et 1 : la courbe est donc à chaque instant un barycentre à poids positifs de ses quatre points de contrôle, et ne peut pas quitter leur enveloppe convexe. Bougez les points : la propriété tient toujours.
Trois villes sur l'équateur, trois poids : où est leur « moyenne » ? La formule du barycentre donne un point à l'intérieur du globe, qui n'est pas un lieu. On le ramène alors sur le cercle par projection radiale — et tout se dérègle : le résultat dépend de l'ordre des regroupements, l'associativité tombe, et certaines configurations n'ont plus de moyenne du tout.
Trois moyennes, trois réponses différentes, et aucune n'est « la » bonne : sur une surface courbe, la moyenne cesse d'être une opération unique. Le barycentre est une construction affine ; il vit dans les espaces plats, et nulle part ailleurs.