Les applications linéaires
Des morphismes d'espaces vectoriels : des applications qui respectent les deux opérations de l'espace, l'addition des vecteurs et la multiplication par un scalaire.
Qu'est-ce qu'un morphisme ?
Un espace vectoriel n'est pas un simple ensemble : c'est un ensemble muni de deux opérations. On sait y additionner deux vecteurs (u + v) et multiplier un vecteur par un nombre, appelé scalaire (λu). Le mot morphisme (du grec morphê, la forme) désigne une application qui respecte la forme, c'est-à-dire ces opérations : peu importe qu'on calcule avant ou après l'avoir appliquée, on obtient le même résultat.
Soient E et F deux espaces vectoriels sur le même corps de scalaires K (ℝ ou ℂ). Une application f : E → F est linéaire si, pour tous vecteurs u, v de E et tout scalaire λ de K :
f(u + v) = f(u) + f(v) (additivité)
f(λu) = λ f(u) (homogénéité)
Les deux règles se condensent en une seule : f(u + λv) = f(u) + λ f(v).
Le schéma ci-dessous montre ce que cela veut dire. On part d'un couple (u, v). Le chemin rouge additionne d'abord dans E, puis transforme par f. Le chemin violet transforme d'abord chaque vecteur, puis additionne dans F. Pour une application linéaire, les deux chemins arrivent toujours au même vecteur : on dit que le carré « commute ».
Le même mot pour toutes les structures
| Structure | Opérations à respecter | Un morphisme vérifie | Exemple |
|---|---|---|---|
| Groupe (G, ·) | une loi | f(a·b) = f(a)·f(b) | exp : (ℝ, +) → (]0 ; +∞[, ×), car ea+b = eaeb |
| Anneau | + et × | f(a + b) = f(a) + f(b), f(ab) = f(a)f(b), f(1) = 1 | le reste modulo 7 : ℤ → ℤ/7ℤ |
| Espace vectoriel sur K | + et multiplication par un scalaire | f(u + v) = f(u) + f(v), f(λu) = λf(u) | la dérivation des polynômes |
Trois conséquences immédiates
1. f(0) = 0. En effet f(0) = f(0 + 0) = f(0) + f(0), donc f(0) = 0. Une application qui déplace l'origine ne peut pas être linéaire.
2. f(−u) = −f(u) : c'est l'homogénéité avec λ = −1.
3. f(λ₁u₁ + … + λₙuₙ) = λ₁f(u₁) + … + λₙf(uₙ) : une application linéaire transforme toute combinaison linéaire en la même combinaison des images. C'est la phrase à retenir.
Un peu de vocabulaire
| Nom | Ce que c'est |
|---|---|
| Endomorphisme | application linéaire d'un espace dans lui-même (E → E) |
| Isomorphisme | application linéaire bijective ; sa réciproque est alors automatiquement linéaire |
| Automorphisme | endomorphisme bijectif ; ils forment le groupe GL(E) |
| Forme linéaire | application linéaire de E dans le corps K lui-même (elle renvoie un nombre) |
| L(E, F) | l'ensemble des applications linéaires de E dans F — lui-même un espace vectoriel |
Deux chemins qui doivent se rejoindre
La définition se vérifie à la main : choisissez une application, déplacez u et v, faites varier λ. À droite, chaque règle est testée par ses deux chemins. S'ils se séparent, ne serait-ce qu'une fois, l'application n'est pas linéaire.
uvu + vλu
Le bouton tire 10 000 triplets (u, v, λ) au hasard et mesure les deux écarts pour chacun.
Ce que la définition fait au quadrillage
Deux petites règles algébriques ont de grandes conséquences géométriques. Une application linéaire du plan fixe l'origine, envoie les droites sur des droites (ou sur un point), garde les parallèles parallèles et les milieux au milieu. Le curseur t fait passer continûment de l'identité (t = 0) à l'application f (t = 1) par gt = (1 − t)·id + t·f.
Faites glisser A et B (cercles gris). Le point rouge plein est l'image du milieu M ; le cercle vert est le milieu des images f(A) et f(B).
Une base suffit : matrice, noyau, image
Tout vecteur s'écrit x = a·e₁ + b·e₂. Par linéarité, f(x) = a·f(e₁) + b·f(e₂) : il suffit de connaître les images des vecteurs de base pour connaître f partout. Les coordonnées de f(e₁) et f(e₂), rangées en colonnes, forment la matrice de f. Faites glisser f(e₁) et f(e₂) à droite, et x à gauche.
Un aimant colle f(e₂) sur la droite de f(e₁) quand l'angle passe sous 4°.
Au-delà des flèches : les polynômes
Un « vecteur » n'est pas forcément une flèche : c'est un élément de n'importe quel espace vectoriel. Les polynômes de degré au plus 3 forment l'espace ℝ₃[X], de dimension 4, de base (1, X, X², X³). Bien des opérations familières de l'analyse y sont des applications linéaires. On compare ici φ(P + λQ), calculé directement, et φ(P) + λφ(Q).
Matrice de φ dans les bases canoniques
Le principe de superposition, c'est la linéarité
Un système physique est une application : il reçoit une entrée (une force F au cours du temps) et produit une sortie (l'angle x d'un pendule). Le principe de superposition des physiciens, « la réponse à deux causes est la somme des réponses », n'est rien d'autre que l'additivité d'un morphisme. Un pendule linéarisé obéit à x″ + 2ζx′ + x = F(t) ; un vrai pendule à x″ + 2ζx′ + sin x = F(t). On lui envoie un coup bref F₁, une force sinusoïdale F₂, puis les deux ensemble.
Synthèse
Deux règles, un seul mot
Une application linéaire respecte la somme et la multiplication par un scalaire : f(u + λv) = f(u) + λf(v). Elle fixe 0, et transforme toute combinaison linéaire en la même combinaison des images. C'est un morphisme : elle respecte la forme de l'espace.
Une base suffit
Connaître f sur une base, c'est la connaître partout : d'où la matrice. Le noyau dit ce qui est écrasé, l'image ce qui est atteint, et rang + dim ker = dim E. Injective ⟺ noyau réduit à {0}.
Partout où l'on superpose
Flèches du plan, polynômes, signaux : la même définition gouverne la géométrie, l'analyse (dérivée, intégrale) et la physique (superposition). L'ensemble L(E, F) des applications linéaires est lui-même un espace vectoriel.
Repères historiques
- 1844 — Hermann Grassmann publie l'Ausdehnungslehre, où l'on calcule déjà sur des grandeurs « étendues » sans coordonnées.
- 1858 — Arthur Cayley, dans son mémoire sur la théorie des matrices, traite les matrices comme des objets que l'on additionne et multiplie.
- 1888 — Giuseppe Peano, dans le Calcolo geometrico, donne la première définition axiomatique d'un espace vectoriel et des opérations linéaires entre de tels espaces.
- 1932 — Stefan Banach, Théorie des opérations linéaires : les applications linéaires entre espaces de fonctions de dimension infinie.
- 1945 — Samuel Eilenberg et Saunders Mac Lane fondent la théorie des catégories : « morphisme » devient le nom général de toute flèche qui respecte une structure.
Pour aller plus loin
Composition. Si f : E → F et g : F → G sont linéaires, g ∘ f l'est aussi, et sa matrice est le produit des matrices : c'est même la raison d'être de la règle « ligne par colonne » du produit matriciel.
Dimension de L(E, F). Une application linéaire de E (dimension n) dans F (dimension m) est déterminée par une matrice m × n : L(E, F) est de dimension m·n.
Isomorphismes. Deux espaces de même dimension finie sur le même corps sont isomorphes : ℝ₃[X] « est » ℝ⁴, vu à travers la base (1, X, X², X³). Les formes linéaires conduisent à l'espace dual, objet d'une page voisine.
Additivité sans homogénéité ? Sur ℝ, une application additive et continue est automatiquement linéaire. Il existe des applications additives non linéaires, mais elles ne se construisent qu'avec l'axiome du choix et sont si irrégulières qu'aucun tracé ne peut les montrer.