Algèbre linéaire

Applications linéaires et matrices

Une matrice n'est pas un simple tableau de nombres : c'est la carte d'identité d'une application linéaire, écrite dans une base. Comprendre ce lien, c'est comprendre d'où viennent toutes les règles du calcul matriciel.

Une seule idée : les colonnes sont les images de la base

Une application linéaire f transforme toute combinaison linéaire en la même combinaison des images (voir la page sur les morphismes). Dans le plan, tout vecteur s'écrit x = x₁e₁ + x₂e₂ ; donc

f(x) = x₁ · f(e₁) + x₂ · f(e₂).

Il suffit de connaître les deux vecteurs f(e₁) et f(e₂) pour connaître f partout. On range leurs coordonnées en colonnes : le tableau obtenu est la matrice de f dans la base (e₁, e₂). Regardez l'animation : à chaque instant, la première colonne est exactement la flèche bleue, la seconde la flèche orange.

Cinq applications défilent : rotation, cisaillement, symétrie, dilatation inégale, projection. Le quadrillage et la petite maison suivent l'application ; les nombres de la matrice suivent les deux flèches.

Le dictionnaire

Chaque notion portant sur les applications a sa traduction en calcul sur les matrices. Les planches qui suivent en vérifient les principales lignes.

Côté applications (géométrie)	Côté matrices (calcul)	Planche
images des vecteurs de base f(e₁), …, f(eₙ)	colonnes de la matrice	1
calculer f(x)	produit matrice × colonne MX	1
composée g ∘ f (« f, puis g »)	produit BA (dans cet ordre !)	2
application réciproque f⁻¹	matrice inverse A⁻¹	2
même application, autre base	matrice semblable P⁻¹AP	3
application de ℝⁿ dans ℝᵐ	matrice à m lignes et n colonnes	4
noyau ker f	solutions du système AX = 0	4
appliquer f n fois	puissance Aⁿ	5

Planche 1

Lire une matrice : de la géométrie aux nombres

On part d'une transformation décrite par des mots (« la symétrie par rapport à telle droite ») et la page la construit géométriquement, sans formule de matrice. Elle range ensuite les images de e₁ et e₂ en colonnes, et compare avec la matrice donnée dans les manuels. Puis elle calcule f(x) de trois façons.

Transformation : θ

f(e₁) = colonne 1f(e₂) = colonne 2f(x)x (à déplacer)
La maison grise est l'original, la maison violette son image. Le chemin pointillé montre la lecture par colonnes : x₁ fois la colonne bleue, puis x₂ fois la colonne orange.

M =

matrice construite contre formule du manuel—

MX (colonnes) contre f(x) construit géométriquement—

lecture par lignes contre lecture par colonnes—

déterminant (aire de l'image du carré unité)—

Deux lectures du même produit. Par colonnes, MX est une combinaison des colonnes, avec les coordonnées de X pour coefficients : c'est la lecture géométrique, celle qui découle de la linéarité. Par lignes, chaque coordonnée de MX est le produit scalaire d'une ligne de M avec X : c'est la lecture pratique, celle qu'on apprend à l'école. Elles donnent toujours le même résultat, parce qu'elles font les mêmes multiplications, rangées autrement. Le déterminant, lui, mesure l'aire signée du parallélogramme bâti sur les deux colonnes : il est négatif pour la symétrie (l'orientation s'inverse) et nul pour la projection (le plan s'écrase).

Planche 2

Composer, c'est multiplier

On applique d'abord f (matrice A), puis g (matrice B). La composée g ∘ f est encore linéaire ; sa matrice C a pour colonnes g(f(e₁)) et g(f(e₂)). La règle « ligne par colonne » du produit matriciel n'a pas été inventée au hasard : elle est exactement ce qu'il faut pour que C = BA. Arthur Cayley l'a définie ainsi en 1858.

d'abord f : θ

puis g : θ

maison de départaprès faprès f puis g
La maison violette voyage : départ → f → g, en boucle.

B×A=C

colonnes g(f(eⱼ)) construites contre produit BA—

autre ordre : ‖AB − BA‖—

det(BA) contre det B × det A—

réciproque : A⁻¹ × A − I—

L'ordre compte. « f puis g » s'écrit g ∘ f et se calcule BA : la matrice de la transformation appliquée en premier est écrite à droite, la plus proche du vecteur X (car (BA)X = B(AX)). En général AB ≠ BA : une symétrie suivie d'une rotation n'est pas une rotation suivie d'une symétrie. Essayez deux symétries d'axes faisant un angle α : leur composée est la rotation d'angle 2α, et la page retrouve cet angle à partir des seuls nombres de la matrice produit. Si f est inversible (det A ≠ 0), sa réciproque f⁻¹ a pour matrice A⁻¹, et A⁻¹A = I traduit f⁻¹ ∘ f = identité.

Planche 3

Changer de base : une application, plusieurs matrices

La matrice dépend de la base choisie, pas l'application. Faites glisser les vecteurs b₁ et b₂ d'une nouvelle base : la page décompose f(b₁) et f(b₂) dans cette base (règle de Cramer) et écrit la nouvelle matrice A′. Elle la compare à la formule de changement de base A′ = P⁻¹AP, où P a pour colonnes b₁ et b₂.

Application f :

b₁ et f(b₁) (pointillé)b₂ et f(b₂) (pointillé)quadrillage de la nouvelle base
Les fins traits pointillés décomposent f(b₁) selon b₁ et b₂ : ces deux nombres forment la première colonne de A′.

A =P =

A′ =

A′ par décomposition contre P⁻¹AP—

trace : A contre A′—

déterminant : A contre A′—

termes hors diagonale de A′ |a′₁₂| + |a′₂₁|—

Ce qui ne dépend que de l'application. En changeant de base, tous les coefficients bougent, mais la trace (somme de la diagonale) et le déterminant restent rigoureusement les mêmes : ce sont des propriétés de f, pas de son écriture. Le meilleur choix de base est celui où la matrice devient diagonale : b₁ et b₂ sont alors des vecteurs propres, que f se contente d'étirer. Une rotation n'en a aucun (elle ne garde aucune direction) ; un cisaillement n'en a qu'une direction, pas assez pour faire une base.

Planche 4

Une matrice rectangulaire : dessiner l'espace sur une feuille

Dessiner un objet de l'espace sur une feuille, c'est appliquer une application linéaire de ℝ³ dans ℝ². Sa matrice a 3 colonnes (une par vecteur de base de départ) et 2 lignes (une par coordonnée d'arrivée). Ses trois colonnes sont les trois flèches qui représentent les axes sur le dessin. Déplacez-les : le cube suit.

f(e₁) = colonne 1f(e₂) = colonne 2f(e₃) = colonne 3
Faites glisser la pointe orange (l'axe « fuyant »). Les petits points rouges sont cinq points de l'espace alignés selon le noyau : ils tombent tous au même endroit.

M =

noyau : direction d telle que Md = 0 (normée)—

contrôle ‖Md‖—

cinq points de la droite S + t·d : écart des images—

rang + dim ker = 3—

contrôle supplémentaire—

Le noyau, c'est la direction du regard. Une application de ℝ³ dans ℝ² perd forcément au moins une dimension : rang 2, noyau de dimension 1. Ce noyau est la direction des rayons de projection : tous les points d'une même droite parallèle à d se superposent sur le dessin. Le théorème de Pohlke (1853) dit qu'on peut choisir presque n'importe quelles trois flèches pour les axes : le dessin obtenu est toujours, à une similitude près, la projection parallèle d'un vrai cube. C'est pourquoi le mode « trois axes libres » donne toujours une image crédible, sauf si deux flèches deviennent alignées et que le rang tombe à 1.

Planche 5 · signature

Itérer une application, c'est élever sa matrice à une puissance

La suite uₙ₊₁ = a·uₙ + b·uₙ₋₁ (Fibonacci pour a = b = 1) semble sans rapport avec les matrices. Pourtant, le passage du couple (uₙ ; uₙ₋₁) au couple (uₙ₊₁ ; uₙ) est une application linéaire du plan, de matrice M = (a b / 1 0). Calculer uₙ, c'est appliquer M n fois : calculer Mⁿ. Deux conséquences spectaculaires en découlent.

a b rang n

1. Le vecteur s'aligne. Chaque point est la direction de Mᵏx₀, ramenée sur le cercle. direction propre dominantel'autre direction propre Faites glisser le point de départ x₀ (cercle noir).

2. La formule fermée. Nombre de chiffres de |uₙ| (calcul exact en entiers) exactpente log₁₀ |λ₁|. En rouge, les rangs où la formule de Binet calculée en virgule flottante donne un entier faux.

valeurs propres de M—

vitesse d'alignement mesurée contre |λ₂/λ₁|—

uₙ exact (Mⁿ en entiers)—

Binet en virgule flottante, arrondi—

premier rang où Binet se trompe—

det Mⁿ = (−b)ⁿ, vérifié en entiers—

produits de matrices : exponentiation rapide contre méthode naïve—

Diagonaliser, c'est trouver la formule. Dans une base de vecteurs propres, M devient D = diag(λ₁, λ₂), et Mⁿ = PDⁿP⁻¹ : il suffit d'élever deux nombres à la puissance n. On obtient la formule de Binet uₙ = (λ₁ⁿ − λ₂ⁿ)/(λ₁ − λ₂), soit pour Fibonacci (φⁿ − (−1/φ)ⁿ)/√5. La même diagonalisation explique l'alignement : la composante sur la direction propre dominante est multipliée par λ₁, l'autre par λ₂, si bien que l'écart angulaire fond comme |λ₂/λ₁|ⁿ (pour Fibonacci 1/φ² = 0,382, mesuré par la page). Mais la formule exacte, calculée avec seize chiffres significatifs, finit par donner des entiers faux, alors que Mⁿ calculée en entiers ne se trompe jamais et n'exige qu'une poignée de produits grâce à l'exponentiation rapide (M⁸ = ((M²)²)²). Avec a = 1, b = −1, les valeurs propres sont complexes de module 1 : aucune direction ne domine, le vecteur tourne et la suite est périodique de période 6.

Synthèse

La matrice est une écriture

Ses colonnes sont les images des vecteurs de base, exprimées dans la base d'arrivée. Une autre base donne une autre matrice, semblable : P⁻¹AP. Trace, déterminant et valeurs propres appartiennent à l'application elle-même.

Le calcul suit la géométrie

Le produit matriciel traduit la composition (g ∘ f ↔ BA), l'inverse traduit la réciproque, la puissance traduit l'itération. Les règles « étranges » du calcul matriciel, comme AB ≠ BA, sont des vérités géométriques.

Les dimensions se lisent

Une matrice m × n représente une application de ℝⁿ dans ℝᵐ : n colonnes pour l'espace de départ, m lignes pour l'espace d'arrivée. Le rang est la dimension de l'image, et rang + dim ker = n.

Repères historiques

vers 1730 — Abraham de Moivre connaît déjà la formule fermée de la suite de Fibonacci, qui portera plus tard le nom de Binet.
1843 — Jacques Binet la publie à son tour.
1850 — James Joseph Sylvester forge le mot matrix : le tableau d'où l'on « engendre » des déterminants.
1853 — Karl Pohlke énonce le théorème fondamental de l'axonométrie (publié en 1860).
1858 — Arthur Cayley, A Memoir on the Theory of Matrices : il définit le produit pour qu'il représente la composition des substitutions linéaires.

Pour aller plus loin

Pourquoi les colonnes et pas les lignes ? C'est une convention, liée au choix d'écrire les vecteurs en colonnes et l'application à gauche : f(x) = MX. Avec des vecteurs en lignes (XM), tout se transpose, et la composée « f puis g » s'écrit AB.

Dimension infinie. Une application linéaire entre espaces de fonctions n'a pas toujours de matrice au sens fini ; la dérivation des polynômes en a une dans ℝₙ[X], mais l'analyse de Fourier fait apparaître des « matrices » infinies.

Pages voisines. Les matrices comme déformations du plan, la diagonalisation et les valeurs singulières sont traitées en détail dans d'autres pages de la série ; celle-ci se concentre sur le passage de l'application au tableau.