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Analyse mathématique

L'analyse mathématique

L’analyse mathématique est la branche des mathématiques qui étudie les notions de limite, de continuité, de variation et d’approximation. Née du calcul infinitésimal, elle formalise le passage du discret au continu et fournit le langage fondamental de la physique, de l’ingénierie et de la modélisation statistique.
L'analyse mathématique donne un sens précis à des opérations qui font intervenir l'infini : passer à la limite, dériver, intégrer, sommer une infinité de termes. Son idée directrice tient en une phrase : approcher un objet compliqué par des objets simples, puis passer à la limite.

Trois questions concrètes montrent d'où elle vient :
Quelle est la vitesse d'une voiture à un instant précis ? C'est la limite du quotient (variation de position) / (durée) quand la durée tend vers 0 : la dérivée.

Quelle est l'aire sous une courbe ? C'est la limite de sommes d'aires de rectangles de plus en plus fins : l'intégrale.

Que vaut 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … ? Les sommes partielles se rapprochent de 2 : c'est une série.

Voici un exposé en cinq planches, en partant des nombres réels pour arriver aux polynômes de Taylor.

Vue d'ensemble

L'analyse donne un sens précis à l'infini : passer à la limite, dériver, intégrer, sommer une infinité de termes. Toute la discipline tient dans une idée : on remplace un objet compliqué par une suite d'objets simples, puis on regarde ce qu'il reste à la limite.

Le polynôme de Taylor de sin x de degré n (rouge) se colle de plus en plus loin à la courbe de sin x (bleu). Le degré augmente tout seul ; l'erreur maximale sur [−2π, 2π] est lue en bas à droite.

Planche	Question posée	Résultat central
1 Réels et suites	Pourquoi ℚ ne suffit-il pas ?	Tout ensemble majoré de ℝ a une borne supérieure
2 Continuité	Une fonction continue peut-elle « sauter » ?	Valeurs intermédiaires ; continuité uniforme sur un segment
3 Dérivation	Que dit la pente moyenne sur la pente instantanée ?	Théorème de Rolle et accroissements finis
4 Intégration	Comment une aire devient-elle une limite ?	Sommes de Riemann ; théorème fondamental
5 Séries et Taylor	Jusqu'où un polynôme peut-il remplacer une fonction ?	Rayon de convergence ; la fonction plate

Les réels et les suites : le trou de ℚ

Regardons l'ensemble A des fractions dont le carré est plus petit que 2. Il est majoré (par 2, par 1,5…), mais on va voir qu'il n'a pas de plus petit majorant dans ℚ : là où devrait se trouver √2, il y a un trou. Les nombres réels comblent ce trou, et c'est ce qui garantit que les limites existent.
Cette phrase met en lumière le défaut structurel fondamental du corps des rationnels $\mathbb{Q}$ et la raison exacte pour laquelle les mathématiciens ont dû construire l'ensemble des réels $\mathbb{R}$.

Le jeu de la borne supérieure

Un majorant de A est un nombre M au-dessus de tous les éléments de A ; la borne supérieure est le plus petit majorant. Choisissez une précision ε et un candidat M : soit un peu en dessous de √2, soit un peu au-dessus. La page cherche la fraction de plus petit dénominateur qui répond au défi.

précision ε = 10^−k, k = candidat

Échelle réglée sur ε : l'abscisse 0 est √2, l'unité est ε. Bleu : A (tout ce qui est à gauche de √2). Vert : le candidat M. Orange : la fraction trouvée par la page.

Verdict—

Fraction trouvée—

Écart avec √2—

Contrôle exact en entiers—

Aucun plus petit majorant rationnel

Partons du majorant rationnel 2. La formule de Héron, M ↦ (M + 2/M) / 2, donne toujours un majorant strictement plus petit, encore rationnel. Cliquez : la suite descend sans jamais s'arrêter sur un plus petit majorant de ℚ, et pourtant elle converge, dans ℝ, vers √2.

Nombre de décimales de √2 justes à chaque étape : il double presque à chaque fois.

k	M_k = p / q	Décimales	p² − 2q²

M_k est-il un majorant de A ? (p² > 2q², en entiers exacts)—

M_k+1 < M_k ? (comparaison exacte)—

Décimales justes de M_k—

À retenir. Dans ℚ, tout majorant de A peut être remplacé par un plus petit : il n'y a donc pas de borne supérieure. Dans ℝ, l'axiome de la borne supérieure l'impose : tout ensemble non vide et majoré possède une borne supérieure. C'est le point de départ de toute l'analyse : suites monotones bornées, suites de Cauchy et valeurs intermédiaires en découlent.

Continuité : pas de saut, des valeurs intermédiaires

Une fonction est continue en a si, pour toute précision ε demandée sur f(x), on trouve une tolérance δ sur x qui l'assure. Sur un segment, cette définition a deux conséquences fortes : la fonction prend toutes les valeurs intermédiaires, et la tolérance δ ne s'effondre nulle part.

Valeurs intermédiaires : la dichotomie

Si f est continue sur [a, b] avec f(a) < 0 < f(b), on coupe le segment en deux et on garde la moitié où le signe change encore. Les segments emboîtés se resserrent sur un point où f s'annule. Essayez avec la fonction à saut : la méthode fonctionne encore, mais elle ne trouve plus de zéro.

fonction étape n =

Bleu : f. Sous l'axe : les segments successifs (n = 0 à 6). Rouge : le milieu c_n du segment courant.

Segment courant [l ; r]—

Largeur × 2ⁿ (b − a = 1)—

f(c_n)—

Écart à la racine de référence—

Continuité uniforme : la tolérance δ ne s'effondre pas

Fixons ε. En chaque point a, la plus grande tolérance δ(a) qui convienne est mesurée par la page (bissection contre un balayage fin). Sur un segment, elle reste au-dessus d'un minimum strictement positif : c'est le théorème de Heine. Sur ℝ tout entier pour x², ou près de 0 pour 1/x ou sin(1/x), ce minimum tombe à 0.

fonction ε = point a =

segment : de u = à v =

Loupe autour de a : la courbe bleue doit rester dans la boîte rouge (|x − a| ≤ δ, |f(x) − f(a)| ≤ ε). Quand δ est le plus grand possible, elle touche un bord de la boîte.

Vert : la plus grande tolérance δ(a) pour chaque a. Zone jaune : le segment [u, v]. Rouge : son minimum.

δ(a) mesuré—

δ(a) par la formule exacte—

Minimum de δ sur [u, v]—

Verdict—

À retenir. Continue sur un segment, une fonction est bornée, atteint ses bornes et son δ est uniforme. Continue sur un intervalle ouvert ou non borné, elle peut échapper à tout cela : x² est continue sur ℝ, mais son δ(a) tend vers 0 quand a grandit, et 1/x n'est pas uniformément continue sur ]0, 1].

Dérivation : la pente moyenne devient instantanée

La dérivée de f en a est la pente de la tangente, c'est-à-dire la limite du taux d'accroissement (f(a+h) − f(a)) / h quand h tend vers 0. Le théorème des accroissements finis dit que, entre a et b, il existe un instant où la pente instantanée égale la pente moyenne : la tangente est alors parallèle à la corde. Si la corde est horizontale, c'est le théorème de Rolle.

fonction a = b =

Bleu : f. Vert : la corde de A à B. Rouge : les tangentes parallèles à la corde, aux points c.

Bleu : la dérivée f′. Vert : la pente m de la corde. Rouge : les points c où f′(c) = m.

Pente de la corde m = (f(b) − f(a)) / (b − a)—

Points c dans ]a, b[ avec f′(c) = m—

Valeur(s) de c—

f(b) − f(a) − f′(c₁)(b − a)—

Contrôle par la formule exacte—

Attention aux hypothèses. Prenez |x| avec a = −1 et b = 1 : la corde est horizontale, mais f′ ne vaut jamais 0, car elle saute de −1 à +1 en 0. Le théorème ne s'applique pas, parce que |x| n'est pas dérivable en 0. Avec eˣ, qui est strictement croissante, il n'existe aucun b tel que f(b) = f(a) : Rolle ne s'applique jamais, et l'unique point c vaut ln m.

Intégration : d'une somme d'aires à une limite

L'intégrale d'une fonction positive est l'aire sous sa courbe. Pour la définir, on découpe le segment en n morceaux, on met un rectangle sur chacun, et on additionne : c'est une somme de Riemann. Si ces sommes se rapprochent d'un même nombre quand n grandit, quelle que soit la façon de choisir la hauteur, ce nombre est l'intégrale.

Les sommes de Riemann

fonction n = hauteur prise

Chaque rectangle a pour largeur (b − a)/n et pour hauteur la valeur de f au point choisi (petit point rouge quand n est assez petit).

Somme de Riemann S_n—

Valeur exacte (primitive : G(b) − G(a))—

Écart S_n − intégrale—

Ce que l'on observe—

Le théorème fondamental : intégrer, c'est inverser dériver

Fixons f et faisons croître la borne haute : F(x) est l'aire accumulée entre a et x. Quand x avance un tout petit peu, l'aire gagnée est presque un rectangle de hauteur f(x). La pente de F est donc f(x) : F′ = f.

borne x

Bleu : F(x), calculée par Simpson sans utiliser de primitive. Rouge : la tangente en x, de pente f(x). Vert : la primitive G(x) − G(a), tracée en pointillés : elle se confond avec F.

F(x) (Simpson)—

G(x) − G(a) (primitive)—

Pente de F en x (taux sur h = 10⁻⁴)—

f(x)—

À retenir. Pour une fonction continue, la limite des sommes de Riemann existe et ne dépend pas du choix des hauteurs. La fonction de Dirichlet (1 aux rationnels, 0 aux irrationnels) est le contre-exemple : selon les points choisis, toutes les sommes valent 1 ou toutes valent 0, et n'ont donc pas de limite commune. L'intégrale de Lebesgue, qui compte les rationnels pour rien parce qu'ils forment un ensemble de mesure nulle, donne à cette fonction l'intégrale 0. Enfin, si F′ = f, on obtient l'intégrale sans jamais sommer : c'est la puissance du théorème fondamental.

Séries et polynômes de Taylor : jusqu'où le polynôme dit-il vrai ?

Additionner une infinité de termes, c'est passer à la limite sur les sommes partielles. Quand les termes sont des puissances de x, on obtient une « série entière », un polynôme infini. Trois expériences : comment une série converge (ou non), pourquoi le polynôme de Taylor de 1/(1 + x²) s'effondre au-delà de 1 alors que la fonction est lisse partout, et pourquoi une fonction infiniment dérivable peut avoir un polynôme de Taylor nul.

Une série converge si ses sommes partielles S_N = u₁ + … + u_N ont une limite. Le terme général doit tendre vers 0, mais cela ne suffit pas : la série harmonique 1 + 1/2 + 1/3 + … diverge, très lentement.

série nombre de termes N =

Points bleus : les sommes partielles S_N. Vert : la limite (ou, pour la série harmonique, la courbe ln N + γ).

Regroupement d'Oresme : le paquet k additionne 1/j pour j de 2^k−1 + 1 à 2^k. Chacun vaut au moins 1/2 (rouge) et tend vers ln 2 (vert), donc la somme n'est pas bornée.

Somme partielle S_N—

Limite (référence exacte)—

Écart limite − S_N—

Comportement de l'écart—

Harmonique : premier N avec S_N > 10 (par sommation)—

Harmonique : premier N avec S_N > 100 (formule ln N + γ + 1/2N)—

Paquets d'Oresme : plus petit paquet (k = 1 à 16)—

Une série entière Σ a_nxⁿ converge pour |x| < R et diverge pour |x| > R : R est son rayon de convergence. Le polynôme de Taylor de degré N est la somme partielle. Choisissez un point x et un degré N : à l'intérieur du rayon, l'erreur diminue quand N grandit ; à l'extérieur, elle explose.

fonction degré N = point x =

Bleu : la fonction. Rouge : le polynôme de Taylor de degré N. Pointillés verts : les bornes ±R du rayon de convergence.

f(x)—

Polynôme de Taylor T_N(x)—

Erreur |T_N(x) − f(x)| à N puis à 2N—

Test de la racine : 1/|a_N|^1/N (estimation de R)—

Rayon de convergence exact et verdict—

La fonction 1/(1 + x²) est parfaitement régulière sur tout ℝ, et pourtant son rayon est 1. La raison est cachée hors de la droite réelle : le dénominateur s'annule en x = i et x = −i, à distance 1 de l'origine dans le plan complexe.

La fonction f(x) = exp(−1/x²), prolongée par f(0) = 0, est infiniment dérivable en 0 et toutes ses dérivées y sont nulles. Son polynôme de Taylor à n'importe quel ordre est donc le polynôme nul, alors que f(x) est strictement positive dès que x est non nul. La raison : f tend vers 0 plus vite que toute puissance de x. La courbe rouge montre f(x)/x^k : même divisée par x^k, elle repart vers 0.

puissance k = point x =

Bleu : f(x) = exp(−1/x²). Rouge : f(x)/x^k. Gris épais : le polynôme de Taylor de f en 0, de tout degré, soit la fonction nulle.

f(x)—

Taylor de f en 0 (tout degré) au point x0 : le polynôme nul

f(x) / x^k—

Maximum de f(x)/x^k : position mesurée (formule √(2/k))—

Valeur du maximum (formule (k/2e)^k/2)—

À retenir. Une fonction qui est somme de sa série de Taylor est dite analytique. Toutes les fonctions usuelles le sont là où leur série converge, mais « infiniment dérivable » ne suffit pas : exp(−1/x²) est lisse, plate en 0, et n'est égale à sa série de Taylor nulle en aucun point non nul. Entre approcher localement (Taylor) et reconstruire globalement (série), il y a le rayon de convergence, et parfois pire.

Deux mille ans en dix dates

L'analyse s'est construite en deux temps : vingt siècles d'intuitions géniales, puis, au XIXe siècle, un travail de rigueur qui lui a donné sa forme actuelle.

L'analyse a d'abord été un calcul efficace mais mal fondé, puis un édifice rigoureux. Le calcul d'abord, les définitions ensuite : c'est l'inverse de l'ordre dans lequel on l'enseigne.

Ve siècle av. J.-C. — Zénon d'Élée : les paradoxes d'Achille et de la tortue posent la question d'une somme infinie de durées finies.
IVe–IIIe siècle av. J.-C. — Eudoxe et Archimède : la méthode d'exhaustion ; Archimède calcule l'aire d'un segment de parabole par une série géométrique de raison 1/4.
Vers 1665–1684 — Newton et Leibniz : le calcul infinitésimal, avec les fluxions d'un côté et la notation dy/dx de l'autre.
1748 — Euler : Introductio in analysin infinitorum, des fonctions et des séries manipulées avec audace.
1817 — Bolzano : première preuve du théorème des valeurs intermédiaires, sans géométrie.
1821 — Cauchy : Cours d'analyse, des définitions de la limite, de la continuité et de la convergence.
1854 — Riemann : l'intégrale comme limite de sommes.
1861–1872 — Weierstrass : la formulation en ε et δ, la convergence uniforme, une fonction continue et dérivable en aucun point.
1872 — Dedekind et Cantor : la construction rigoureuse des nombres réels.
1901–1902 — Lebesgue : l'intégrale fondée sur la mesure des ensembles.

Newton et Leibniz calculaient de façon efficace mais sans définir proprement leurs « quantités infiniment petites », ce que l'évêque Berkeley leur a reproché dès 1734. Il a fallu Cauchy, puis Weierstrass, pour remplacer ces fantômes par des inégalités précises.

Ce qu'il faut retenir

La complétude de ℝ

Tout ensemble majoré a une borne supérieure. C'est elle qui garantit que les limites existent : suites monotones bornées, suites de Cauchy, valeurs intermédiaires, bornes atteintes.

Dérivée et intégrale

Ce sont deux limites : celle d'un taux d'accroissement, celle d'une somme d'aires. Le théorème fondamental montre qu'elles sont réciproques l'une de l'autre.

Approcher, puis contrôler

Séries et polynômes de Taylor approchent des fonctions compliquées. Le rayon de convergence et la convergence uniforme disent quand l'approximation est fiable, et quand elle ne l'est pas.

Pour aller plus loin

Cinq prolongements naturels : les équations différentielles (théorème de Cauchy-Lipschitz), les séries de Fourier (Dirichlet, Parseval), l'analyse complexe (une fonction dérivable au sens complexe est automatiquement analytique), la théorie de la mesure (intégrale de Lebesgue, convergence dominée), l'analyse fonctionnelle (espaces de Banach et de Hilbert).

Ouvrages : Jean-Marie Monier, Analyse (Dunod) ; Xavier Gourdon, Les maths en tête — Analyse (Ellipses) ; Walter Rudin, Principes d'analyse mathématique (Dunod) ; Roger Godement, Analyse mathématique (Springer) ; Jean Dieudonné, Calcul infinitésimal (Hermann).