Qu'est-ce qu'une équation différentielle ?
Une fonction ordinaire relie une entrée à une sortie : y = f(x). Une équation différentielle (EDO, pour « ordinaire ») relie une fonction y(x) à ses propres dérivées : elle décrit comment y change, pas ce qu'elle vaut.
Résoudre cette équation, ce n'est pas trouver un nombre mais retrouver toute une famille de courbes — une pour chaque point de départ — dont la pente en chaque point est imposée par l'équation elle-même. L'ordre de l'équation est celui de la dérivée la plus élevée qui y apparaît : y′ pour le premier ordre, y″ pour le second.
Variables séparables : la croissance et la décroissance
Le cas le plus simple et le plus fréquent : la vitesse de variation de y est proportionnelle à y elle-même. C'est le modèle d'une population qui se reproduit, d'un capital qui capitalise, ou d'un isotope qui se désintègre.
Le champ des tangentes : voir toutes les solutions à la fois
Quand une équation ne se sépare pas proprement, on peut quand même la dessiner. En chaque point de la grille, f(x,y) donne la pente d'un petit trait. L'ensemble de ces traits — le champ des tangentes — révèle la forme de toutes les solutions sans en calculer aucune.
Choisissez une équation, puis cliquez dans le cadre : une courbe solution part de ce point et suit le champ, intégrée en direct par la méthode de Runge–Kutta.
Premier ordre linéaire : le facteur intégrant
Dès qu'un terme extérieur q(x) s'ajoute — un apport, une force, une commande — l'équation devient linéaire avec second membre :
On ne peut plus séparer les variables. L'astuce consiste à multiplier toute l'équation par une fonction μ(x) choisie pour que le membre de gauche devienne la dérivée d'un seul produit.
Second ordre à coefficients constants : l'oscillateur amorti
Une masse suspendue à un ressort, freinée par un amortisseur, obéit à une équation du second ordre : l'accélération dépend de la position et de la vitesse.
On cherche des solutions en erx, ce qui transforme l'équation différentielle en une simple équation caractéristique :
Le signe du discriminant décide de tout : bougez ζ (l'amortissement) ci-dessous pour voir la masse basculer entre les trois régimes.
Fiche mémo
Quatre familles couvrent l'essentiel du premier semestre d'analyse — au-delà, quand aucune formule fermée n'existe, on revient au champ des tangentes et aux méthodes numériques (Euler, Runge–Kutta) du chapitre 3.
| Équation | Méthode | Solution générale |
|---|---|---|
| y′ = f(x) | Primitive directe | y = ∫f(x)dx + C |
| y′ = k y | Séparation des variables | y = C ekx |
| y′ + p(x)y = q(x) | Facteur intégrant μ = e∫p dx | y = 1μ(∫μq dx + C) |
| y″ + a y′ + b y = 0 | Équation caractéristique r²+ar+b=0, discriminant Δ | combinaison de er₁x, er₂x selon le signe de Δ |
| y′ = f(x,y) | Pas de forme fermée générale | champ des tangentes + intégration numérique |