L'algèbre extérieure et les formes différentielles
Le déterminant mesure une aire ou un volume signé. L'algèbre extérieure en fait un calcul : on « multiplie » des vecteurs pour obtenir des morceaux de plan ou d'espace orientés. Les formes différentielles en sont la version infinitésimale : ce sont les objets que l'on intègre. Une seule opération, la dérivée extérieure d, réunit alors gradient, rotationnel et divergence, et un seul théorème, Stokes, réunit toutes les formules intégrales.
Vue d'ensemble : de l'aire signée au produit extérieur
Deux vecteurs u et v du plan engendrent un parallélogramme. Son aire, comptée positivement si l'on tourne de u vers v dans le sens direct et négativement sinon, vaut u₁v₂ − u₂v₁ : c'est le déterminant. Grassmann a eu l'idée, en 1844, d'en faire un produit, noté u ∧ v (« u wedge v », « u extérieur v »), avec deux règles seulement :
- il est bilinéaire : (u + u′) ∧ v = u ∧ v + u′ ∧ v, et (λu) ∧ v = λ(u ∧ v) ;
- il est alterné : u ∧ u = 0, d'où v ∧ u = −u ∧ v.
Tout le reste en découle : l'aire, le volume, le déterminant, le produit vectoriel, et, en passant à l'infiniment petit, les formes différentielles qu'on intègre le long des courbes et sur les surfaces.
| Objet | Ce qu'il représente | Où on le retrouve | Planche |
|---|---|---|---|
| u ∧ v | un morceau de plan orienté, d'aire donnée | aire, produit vectoriel, moment | 1 |
| u ∧ v ∧ w, k-vecteurs | un morceau d'espace de dimension k | volume, déterminant, indépendance linéaire | 2 |
| 1-forme P dx + Q dy | ce qu'on intègre le long d'une courbe | travail d'une force, potentiel | 3 |
| dérivée extérieure d | le « bord » vu par les formes | gradient, rotationnel, divergence, Stokes | 4 |
| image réciproque φ* | transporter une forme par une application | jacobien, changement de variables, nombre de tours | 5 |
Le produit extérieur : un morceau de plan orienté
Que vaut u ∧ v, et pourquoi la bilinéarité et l'alternance suffisent-elles à retrouver l'aire ?
Dans le plan, avec la base (e₁, e₂), on développe : u ∧ v = (u₁e₁ + u₂e₂) ∧ (v₁e₁ + v₂e₂). Les termes e₁ ∧ e₁ et e₂ ∧ e₂ sont nuls, et e₂ ∧ e₁ = −e₁ ∧ e₂. Il reste u ∧ v = (u₁v₂ − u₂v₁) e₁ ∧ e₂. Déplacez les extrémités de u et v. Le curseur λ remplace v par v + λu : c'est un cisaillement, qui fait glisser le parallélogramme sans changer son aire, puisque u ∧ (v + λu) = u ∧ v + λ u ∧ u = u ∧ v.
k-vecteurs, volumes et déterminant
Que donne le produit de trois vecteurs, ou de k vecteurs dans un espace de dimension n ?
Dans ℝⁿ, un produit de k vecteurs, appelé k-vecteur, se développe sur les produits de base ei₁ ∧ … ∧ eiₖ avec i₁ < … < iₖ. Il y en a C(n, k) : c'est la dimension de l'espace Λᵏ(ℝⁿ). Chaque coefficient est un mineur, le déterminant des k coordonnées concernées. Pour k = n, il ne reste qu'une composante : u₁ ∧ … ∧ uₙ = det(u₁, …, uₙ) e₁ ∧ … ∧ eₙ. Le déterminant, c'est le produit extérieur de n vecteurs.
Un 2-vecteur qui n'est pas un « vrai » plan
Dans ℝ⁴, ω = e₁∧e₂ + λ e₃∧e₄ est un 2-vecteur. Est-ce le produit u ∧ v de deux vecteurs ? Si oui, ω ∧ ω = u ∧ v ∧ u ∧ v = 0, puisque u apparaît deux fois. Or on calcule ω ∧ ω = 2λ e₁∧e₂∧e₃∧e₄.
Les 1-formes : ce qu'on intègre le long d'une courbe
Qu'est-ce que « dx », et pourquoi écrit-on ∫ P dx + Q dy ?
dx et dy sont les deux formes coordonnées : appliquées à un petit déplacement (h, k), elles rendent h et k. Une 1-forme différentielle ω = P(x, y) dx + Q(x, y) dy associe à chaque point une façon de mesurer les petits déplacements : ω(h, k) = P h + Q k. Le long d'une courbe γ, on additionne ces mesures pas à pas, ce qui donne l'intégrale ∫γ ω, par exemple le travail d'une force.
Une forme est exacte si ω = df pour une fonction f, appelée potentiel. On la dessine alors par les lignes de niveau de f, et l'intégrale compte les lignes traversées : ∫γ df = f(B) − f(A), quel que soit le chemin.
La dérivée extérieure d et le théorème de Stokes
Une seule opération pour le gradient, le rotationnel et la divergence, et un seul théorème pour toutes les formules intégrales.
La dérivée extérieure d prend une k-forme et rend une (k+1)-forme. Elle se calcule avec trois règles : df = ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy (+ ∂f/∂z dz) ; d(f dx) = df ∧ dx ; et dx ∧ dx = 0. Dans le plan, d(P dx + Q dy) = (∂Q/∂x − ∂P/∂y) dx ∧ dy. Le théorème de Stokes s'écrit alors en une ligne :
∫∂D ω = ∫D dω
L'intégrale de ω sur le bord ∂D égale l'intégrale de dω sur le domaine D. Dans le plan, c'est la formule de Green-Riemann. Déplacez le domaine, changez sa taille et sa forme : les deux membres sont calculés indépendamment, l'un sur la courbe, l'autre sur la surface.
d ∘ d = 0, ou les identités de l'analyse vectorielle
| forme | dérivée d | en analyse vectorielle |
|---|---|---|
| 0-forme f | df | gradient de f |
| 1-forme P dx + Q dy + R dz | 2-forme | rotationnel |
| 2-forme | 3-forme | divergence |
| d(df) = 0 | rot(grad f) = 0 | |
| d(dω) = 0 | div(rot F) = 0 |
Signature : transporter une forme
Si une application φ déforme le plan, que deviennent les formes ? On les tire en arrière : c'est l'image réciproque φ*.
Pour une application φ(u, v) = (x, y), on remplace dans une forme x et y par leurs expressions en u et v. Pour une 2-forme, le calcul donne φ*(dx ∧ dy) = dx ∧ dy, développé en du et dv, c'est-à-dire det Jφ · du ∧ dv. Le jacobien n'est rien d'autre qu'un produit extérieur, et la formule du changement de variables en découle.
Une dernière forme, dθ = (x dy − y dx)/(x² + y²), mesure de combien tourne une courbe autour de l'origine. On la tire en arrière par un polynôme p : quand z parcourt le cercle de rayon R, le point p(z) fait autour de 0 autant de tours qu'il y a de racines de p dans le disque. C'est le principe de l'argument. Faites glisser les racines, et réglez le rayon.
Une brève histoire
En résumé
Le produit extérieur
Bilinéaire et alterné, il fabrique des morceaux de plan ou d'espace orientés. Ses coefficients sont des mineurs, et pour n vecteurs dans ℝⁿ, c'est le déterminant.
Les formes
Une k-forme mesure les petits morceaux de dimension k. On l'intègre sur des courbes, des surfaces, des volumes, et elle se transporte par les applications en faisant apparaître le jacobien.
d et Stokes
La dérivée extérieure unifie gradient, rotationnel et divergence ; d ∘ d = 0. Le théorème ∫∂D ω = ∫D dω contient toutes les formules intégrales classiques.
Pour aller plus loin
Algèbre extérieure complète. L'espace Λ(ℝⁿ) = Λ⁰ ⊕ Λ¹ ⊕ … ⊕ Λⁿ a pour dimension 2ⁿ. Le produit est associatif, et l'on a α ∧ β = (−1)kl β ∧ α pour une k-forme et une l-forme. L'étoile de Hodge échange Λᵏ et Λⁿ⁻ᵏ ; c'est elle qui transforme u ∧ v en u × v dans l'espace.
Lien avec les tenseurs. Les k-formes sont les tenseurs covariants antisymétriques d'ordre k (voir la page sur le calcul tensoriel). Le déterminant est l'unique n-forme qui vaut 1 sur la base canonique.
Physique. Le champ électromagnétique est une 2-forme F sur l'espace-temps. Les quatre équations de Maxwell s'écrivent dF = 0 et d⋆F = J.
Topologie. Une forme fermée non exacte, comme dθ sur le plan privé de l'origine, détecte un « trou ». La cohomologie de de Rham compte ces trous avec du calcul différentiel.