Analyse

Une histoire de l'analyse mathématique

Comment calculer avec l'infini sans se tromper ? D'Archimède, qui l'évitait, à Weierstrass, qui l'a dompté, en passant par Newton, Leibniz et Euler, qui l'ont manié avec audace. Chaque époque est rejouée sur une planche, et chaque résultat historique est recalculé par la page.

De quoi parle-t-on ?

L'analyse est la partie des mathématiques qui étudie le continu et les passages à la limite : aires de figures courbes, tangentes, vitesses instantanées, sommes d'une infinité de termes. Toutes ces questions obligent à manier l'infiniment petit ou l'infiniment grand, et toute son histoire est celle d'un compromis entre l'audace, qui fait trouver, et la rigueur, qui garantit.

Éviter l'infini	Archimède encadre une aire courbe par des figures finies et conclut par l'absurde. Planche 1.
L'apprivoiser	Fermat calcule aires et maximums en laissant une petite quantité s'évanouir. Planche 2.
Le manier	Newton et Leibniz font du calcul infinitésimal un algorithme ; Newton en tire π, Euler résout avec des produits infinis un problème qui résistait depuis 1650. Planches 3 et 4.
Le dompter	Au XIXᵉ siècle, des contre-exemples obligent Cauchy, Abel, Riemann et Weierstrass à tout redéfinir. Planche 5.

Archimède et la quadrature de la parabole

Archimède, La Quadrature de la parabole, vers −250 · méthode d'exhaustion d'Eudoxe

Les Grecs refusent l'infini « en acte ». Pour mesurer le segment de parabole, Archimède le remplit de triangles : un grand triangle d'aire T, puis dans chaque espace restant un triangle dont le sommet est le point où la tangente est parallèle à la base. Il prouve que chaque génération de triangles a une aire totale égale au quart de la précédente. L'aire vaut donc T + T/4 + T/16 + … et Archimède montre, par une double réduction à l'absurde, qu'elle ne peut être ni plus grande ni plus petite que 4/3 de T.

Générations de triangles3

Le segment de la parabole y = 1 − x² au-dessus de la corde. Chaque génération a sa couleur ; à droite, les aires de chaque génération en barres, chacune le quart de la précédente.

Triangles posés

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Aire couverte (fractions exactes, T = 1)

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Ce qui reste : 4/3 − aire couverte

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Contrôle indépendant : intégrale de Simpson

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Ce qu'il faut voir. Le reste vaut exactement 1/(3·4ⁿ) : il est divisé par 4 à chaque génération, donc il devient plus petit que toute quantité donnée — c'est l'argument d'Archimède, qui ne parle jamais d'une somme infinie. Le contrôle par l'intégrale moderne redonne 4/3 au dernier chiffre près. Deux mille ans avant le calcul intégral, la valeur était juste et la preuve rigoureuse.

Fermat : des aires et des maximums qui s'évanouissent

Pierre de Fermat, Toulouse, vers 1636–1658 · Cavalieri, Geometria indivisibilibus, 1635

Pour l'aire sous la courbe y = x^k entre 0 et 1, Fermat découpe l'intervalle non pas en parts égales, mais aux points 1, q, q², q³, … qui se resserrent vers 0. Les rectangles forment alors une suite géométrique, dont la somme se calcule exactement : (1 − q)/(1 − q^k+1). Quand q se rapproche de 1, les rectangles s'affinent et la somme tend vers 1/(k + 1) — même pour un exposant fractionnaire, ce que Cavalieri ne savait pas faire.

Exposant k2

Rapport q0,8

Bleu : la courbe y = x^k. Orange : les rectangles de Fermat, de plus en plus étroits vers 0. Le rectangle le plus à droite a pour base 1 − q.

Somme des rectangles, formule de Fermat

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Somme des rectangles, additionnés un à un

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Aire exacte 1/(k + 1)

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Écart × (1 − q)

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L'« adégalité » : trouver un maximum

Problème de Fermat : partager un segment de longueur b en deux parties a et b − a dont le produit soit le plus grand possible. Il compare f(a) = a(b − a) à f(a + e), les « adégale » (les pose presque égaux), divise par e, puis supprime e. Il reste b − 2a = 0, soit a = b/2. C'est déjà, sans le mot, l'annulation de la dérivée.

e1,5

La courbe f(a) = a(10 − a) avec b = 10 ; la corde entre a et a + e (rouge) devient tangente quand e s'évanouit. Au sommet, elle est horizontale.

(f(a + e) − f(a)) / e, calculé

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Expression de Fermat b − 2a − e

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On supprime e : b − 2a

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Ce qu'il faut voir. L'écart entre la somme des rectangles et l'aire exacte, divisé par 1 − q, se stabilise : l'erreur est proportionnelle à la largeur du plus grand rectangle, et disparaît quand q tend vers 1. Pour l'adégalité, le quotient calculé coïncide avec b − 2a − e pour tout e : on « divise par e » tant que e n'est pas nul, puis on le fait disparaître. Ce double jeu, diviser puis négliger, sera exactement ce que Berkeley reprochera aux fluxions en 1734.

Newton, 1665 : π par une série infinie

Isaac Newton, Woolsthorpe, 1665–1666 · Leibniz, Nova methodus, 1684

Réfugié à la campagne pendant la peste, Newton découvre que (1 − x)^1/2 se développe en une série infinie 1 − x/2 − x²/8 − x³/16 − …, comme une puissance entière. Il l'applique au cercle de diamètre 1 : l'aire A sous l'arc entre 0 et 1/4 s'intègre terme à terme. Or la géométrie dit que A est un secteur d'aire π/24 moins un triangle d'aire √3/32. D'où π = 24 A + 3√3/4. Newton avoue plus tard avoir poussé ce calcul jusqu'à seize décimales, « n'ayant alors rien d'autre à faire ».

Termes de la série22

À gauche, le cercle de diamètre 1 : l'aire A (bleu) = secteur de 60° (vert) − triangle (orange). À droite, l'erreur sur π en échelle logarithmique en fonction du nombre de termes ; la droite pointillée a la pente mesurée.

π par la série de Newton (vert : décimales justes, calcul exact en entiers sur 70 chiffres)

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Décimales justes

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Gain mesuré par terme

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Référence indépendante

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Ce qu'il faut voir. Chaque terme apporte environ deux tiers de décimale (0,65 mesuré) : l'essentiel vient de log₁₀ 4 ≈ 0,60, parce que la série avance par puissances de x = 1/4, le reste de ses coefficients qui décroissent aussi. Avec 22 termes, on retrouve les seize décimales de Newton. Le calcul de la page, mené en entiers exacts, se compare à π obtenu par une tout autre formule (Machin, 1706) : les décimales vertes concordent. L'important, en 1665, n'est pas π, mais la découverte qu'on peut calculer avec des séries infinies comme avec des polynômes.

Euler et le problème de Bâle : 1 + 1/4 + 1/9 + … = π²/6

Pietro Mengoli pose la question en 1650 · Leonhard Euler la résout en 1734–1735

Que vaut la somme des inverses des carrés ? La série converge si lentement qu'après mille termes on n'a que trois décimales. Euler procède en deux temps. D'abord il accélère la convergence : il ajoute à la somme partielle une correction en 1/n, 1/n², … (la formule d'Euler-Maclaurin) et obtient 1,644934 en 1731. Puis, en 1735, il devine la valeur exacte par un raisonnement audacieux : il écrit sin x / x comme un polynôme infini qui s'annule en ±π, ±2π, …, donc comme un produit (1 − x²/π²)(1 − x²/4π²)…, et compare le coefficient de x² à celui de la série de sin x / x, soit −1/6.

Termes n10

Corrections d'Euler3

Erreur sur π²/6 en fonction du nombre de termes, en double échelle logarithmique. Gris : somme brute ; couleurs : avec 1 à 5 termes de correction. En rouge, le réglage choisi. En dessous de 10⁻¹⁵, on touche la précision de la machine.

Somme brute 1 + 1/4 + … + 1/n²

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Avec les corrections d'Euler

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π²/6

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Erreurs (brute → corrigée)

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Facteurs du produit d'Euler3

Bleu : sin x / x. Orange : le produit (1 − x²/π²)(1 − x²/4π²)… limité à N facteurs ; il s'annule aux mêmes points ±π, ±2π, … jusqu'au N-ième.

Coefficient de x² : −Σ 1/(k²π²) contre −1/6

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En x = π/2, le produit donne la formule de Wallis (1655)

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Écart à 2/π, multiplié par N

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Ce qu'il faut voir. Avec dix termes seulement, l'erreur tombe de 0,1 à 3·10⁻⁷ avec trois corrections, et à 3·10⁻¹¹ avec cinq : Euler a pu calculer la valeur avant de la connaître, puis reconnaître π²/6. Son produit infini n'était pas démontré (un polynôme infini n'est pas un polynôme), mais tout concorde : le coefficient de x² converge vers −1/6, et en x = π/2 il redonne la formule de Wallis, avec un écart × N qui tend vers 1/(2π) ≈ 0,159. Weierstrass justifiera ces produits en 1876.

Le siècle de la rigueur : quand l'intuition se trompe

Cauchy, Cours d'analyse (1821) · Abel (1826) · Riemann (vers 1861) · Weierstrass (1872) · Hardy (1916) · Gerver (1970)

Au XIXᵉ siècle, les séries de Fourier (1807) produisent des fonctions que personne n'avait imaginées. Cauchy redéfinit limite, continuité et convergence avec des inégalités, mais il « démontre » encore en 1821 qu'une somme de fonctions continues est continue. Deux épisodes montrent comment des contre-exemples ont forcé la rigueur moderne, celle de Weierstrass et de ses ε et δ.

Abel signale en 1826 que le théorème de Cauchy « admet des exceptions » : la série sin x − sin 2x/2 + sin 3x/3 − … converge vers x/2 pour −π < x < π, mais vaut 0 en x = π. Chaque terme est continu, la somme a un saut. Ce qui manque, c'est la convergence uniforme (Seidel et Stokes, 1847) : l'écart doit devenir petit partout à la fois, pas seulement point par point.

Termes N10

Point x₀2,5

Vert pointillé : la limite x/2, recopiée par périodicité. Bleu : la somme des N premiers termes. Rouge : l'endroit où l'écart est le plus grand, toujours collé au saut.

Écart en x₀ (convergence point par point)

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Plus grand écart sur ]−π ; π[

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Plus grand écart sur [−2,5 ; 2,5], loin du saut

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Somme en x = π

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Riemann aurait proposé vers 1861 la fonction R(x) = sin x + sin 4x/4 + sin 9x/9 + … comme exemple de fonction continue nulle part dérivable. Weierstrass, faute de preuve, publie en 1872 son propre exemple. L'histoire ne s'arrête pas là : Hardy montre en 1916 que R n'est pas dérivable aux multiples irrationnels de π, et Gerver découvre en 1970 qu'elle est pourtant dérivable, de dérivée −1/2, aux points π(2p+1)/(2q+1) — et seulement là. Le quotient (R(x₀ + h) − R(x₀))/h est calculé ici avec un million de termes.

Point x₀

Fenêtre de la loupe ±10⁻ᵏ10⁻²

La fonction de Riemann sur [0 ; 2π] ; le point x₀ en rouge.

Loupe autour de x₀ : R(x₀ + t) − R(x₀). La droite verte a la pente −1/2 annoncée par Gerver.

Quotient (R(x₀ + h) − R(x₀))/h pour h = 10⁻¹, 10⁻², 10⁻³, 10⁻⁴

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Quotient × √h

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Lecture

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Ce qu'il faut voir. Dans l'exemple d'Abel, l'écart en un point fixé s'effondre quand N grandit, mais le plus grand écart sur ]−π ; π[ reste bloqué près de π/2 ≈ 1,571 : la convergence n'est pas uniforme, et c'est pour cela que la limite peut sauter. Loin du saut, l'écart maximal tend bien vers 0. La fonction de Riemann montre jusqu'où l'intuition peut errer : en π et π/3, le quotient se rapproche de −1/2, la courbe a une vraie tangente ; en 0, il explose comme 1/√h (le produit avec √h se stabilise vers √(π/2) ≈ 1,2533) ; en π√2, il erre sans se fixer. Une même formule, cent cinquante ans d'enquête.

Frise : vingt-six jalons de l'analyse

En trois idées

Encadrer

Archimède n'additionne jamais une infinité de termes : il encadre et raisonne par l'absurde. C'est, au fond, ce que fera Weierstrass avec ses ε.

Oser

Newton, Leibniz et Euler manient séries et produits infinis sans justification complète. Leurs résultats sont presque toujours justes : l'audace a précédé la preuve.

Définir

Les contre-exemples du XIXᵉ siècle imposent de tout définir par des inégalités, puis de construire les nombres réels eux-mêmes (Dedekind, Cantor, 1872).

Pour aller plus loin

Plusieurs planches ouvrent sur des pages plus détaillées de ce cahier : le calcul infinitésimal (triangle de Leibniz, procès de Berkeley, nombres duaux) ; les bases de l'analyse ; limites et continuité (dont la fonction de Weierstrass) ; les séries (dont le phénomène de Gibbs) ; primitives et intégrales ; la théorie de l'intégration de Cauchy à Lebesgue ; les formules de Taylor ; les suites de Cauchy.

Lectures : Jean Dhombres et coll., Mathématiques au fil des âges ; Carl Boyer, The History of the Calculus and Its Conceptual Development ; Judith Grabiner, The Origins of Cauchy's Rigorous Calculus ; William Dunham, Euler, the Master of Us All.

Précautions : l'attribution de la fonction R à Riemann repose sur un témoignage de Weierstrass, sans écrit de Riemann. Les quotients de la fonction de Riemann sont calculés avec un million de termes ; leur troncature introduit une erreur de l'ordre de 10⁻² pour h = 10⁻⁴, ce qui suffit à distinguer les comportements mais pas à certifier la troisième décimale.