Une histoire de l'algèbre
De la « chose » inconnue des scribes à la lettre x de Descartes : quatre mille ans pour apprendre à résoudre des équations, puis à les écrire, et enfin à comprendre pourquoi certaines résistent. Chaque méthode historique est rejouée sur une planche et contrôlée par le calcul.
De quoi parle-t-on ?
L'algèbre est l'art de calculer avec une quantité inconnue comme si on la connaissait, pour la retrouver. Le mot vient du titre d'un livre de Bagdad, vers 820 : al-jabr wa-l-muqābala, « la restauration et la comparaison ». Son histoire tient en quatre questions, qui structurent cette page.
| Deviner | Comment trouver un nombre inconnu sans écrire d'équation ? Les essais corrigés d'Égypte et de Chine. Planche 1. |
| Résoudre | Une recette pour le second degré, justifiée par un découpage de carré : Babylone, puis al-Khwārizmī. Planche 2. |
| Écrire | Comment passer de phrases entières à x² + 10x = 39 ? Diophante, Viète, Descartes. Planche 3. |
| Dépasser | Le troisième degré et ses racines « impossibles » (1545), puis le mur du cinquième degré : on apprend alors à compter et à approcher les racines. Planches 4 et 5. |
Avant les équations : la fausse position
Papyrus Rhind (vers −1650), Neuf chapitres chinois (vers 100), Fibonacci (1202)
Le scribe ne pose pas d'équation : il essaie un nombre commode, regarde ce qu'il obtient, puis corrige par une règle de trois. Pour « un tas et son septième font 19 », il essaie 7 : 7 + 1 = 8 au lieu de 19, donc il faut multiplier l'essai par 19/8. C'est la simple fausse position. Elle est exacte dès que le résultat est proportionnel à l'inconnue. Quand il ne l'est pas, les Chinois font deux essais et combinent les erreurs : c'est la double fausse position, que Fibonacci appellera elchataym, d'après l'arabe.
Compléter le carré : de Babylone à al-Khwārizmī
Tablette BM 13901 (vers −1800) · al-Khwārizmī, Kitāb al-jabr wa-l-muqābala (vers 820)
Problème : « un carré et dix de ses côtés font 39 », soit x² + 10x = 39. Le scribe de Babylone donne une recette en cinq gestes ; al-Khwārizmī la justifie par une figure. On coupe le rectangle de 10 sur x en deux moitiés, on en déplace une sous le carré, et il manque un petit coin de 5 sur 5 pour obtenir un grand carré. On l'ajoute des deux côtés : 39 + 25 = 64, le grand carré a pour côté 8, donc x = 8 − 5 = 3.
Al-jabr et al-muqābala : ramener toute équation à six formes
Al-Khwārizmī n'admet que des quantités positives. Une équation qui contient un terme « manquant » (soustrait) doit d'abord être restaurée : c'est al-jabr, on ajoute ce qui manque des deux côtés. Puis on compare les deux plateaux et on retire ce qui est commun : c'est al-muqābala. On ramène enfin à un seul carré. Il reste alors six formes, chacune avec sa recette.
Écrire l'équation : de la phrase au symbole
De Diophante (vers 250) à Descartes (1637)
Pendant des siècles, l'algèbre s'écrit en phrases : c'est l'algèbre rhétorique. Diophante, puis les maîtres d'abaque italiens, abrègent les mots les plus fréquents : c'est l'algèbre syncopée. Viète (1591) a l'idée décisive de désigner par des lettres les inconnues et les quantités données ; Descartes (1637) fixe l'usage de x et des exposants : l'algèbre devient symbolique. Choisissez une équation x² + bx = c et parcourez les époques.
Le défi du troisième degré : Cardan, Tartaglia, Bombelli
Del Ferro (vers 1515), Tartaglia (1535), Cardan, Ars magna (1545), Bombelli (1572), Viète (1593)
Au XVIᵉ siècle, les mathématiciens italiens s'affrontent en défis publics. Tartaglia sait résoudre x³ + px = q ; il confie sa méthode à Cardan, qui la publie en 1545. On pose x = u + v avec uv = −p/3 : u³ et v³ sont alors les deux racines d'une équation du second degré, et l'on obtient la formule de Cardan :
x = ∛(q/2 + √D) + ∛(q/2 − √D), avec D = (q/2)² + (p/3)³.
Mais quand D est négatif, la formule demande la racine carrée d'un nombre négatif — alors même que l'équation a trois solutions bien réelles. C'est le cas irréductible, que Bombelli résout en 1572 en osant calculer avec ces quantités « impossibles ».
Le mur du cinquième degré : compter et approcher les racines
Descartes (1637), Newton (1669), Sturm (1829), Cayley (1879) — après Abel (1824) et Galois (1832)
Ferrari résout le quatrième degré dès 1545. Puis tout bute sur le cinquième : Ruffini (1799), Abel (1824) puis Galois (1832) démontrent qu'aucune formule générale avec des racines n'existe à partir du degré 5. L'algèbre change alors de question : au lieu de chercher une formule, on apprend à compter les racines sans les calculer, et à les approcher aussi près que l'on veut. Deux onglets rejouent ces deux réponses.
Descartes (1637) : le nombre de racines positives est au plus le nombre de changements de signe dans la suite des coefficients, et il en diffère d'un nombre pair. Sturm (1829) va plus loin : à partir de P et de sa dérivée, il construit une suite de polynômes (par des divisions euclidiennes successives) dont les changements de signe en a et en b donnent exactement le nombre de racines entre a et b. Tous les calculs sont faits ici en fractions exactes.
Newton (vers 1669) améliore une valeur approchée en suivant la tangente : z ← z − P(z)/P′(z). Près d'une racine, le nombre de décimales justes double à chaque pas. En 1879, Cayley se demande quelle racine on atteint selon le point de départ, dans le plan complexe. Pour z² − 1, la réponse est simple ; pour z³ − 1, il avoue ne pas savoir. On sait aujourd'hui pourquoi : les frontières des bassins d'attraction sont des fractales.
Frise : vingt-huit jalons de l'algèbre
En trois idées
Des recettes aux preuves
Babylone donnait des recettes ; al-Khwārizmī les justifie par des figures, puis Cardan par des cubes découpés. La justification géométrique précède la justification symbolique.La notation est un outil
Écrire x² + 10x = 39 au lieu d'une phrase n'est pas une coquetterie : c'est ce qui permet de manipuler l'équation mécaniquement et de découvrir des formules générales.De la formule à la structure
Le cinquième degré a résisté non par manque d'astuce, mais pour une raison de structure : les permutations des racines. L'algèbre moderne (Galois, Noether) étudie ces structures pour elles-mêmes.Pour aller plus loin
Plusieurs planches ouvrent sur des pages plus détaillées de ce cahier : les polynômes (division, racines et relations de Viète) ; les nombres complexes (dont Bombelli en six étapes) ; Lagrange et la résolution des équations par les résolvantes ; la théorie de Galois et l'impossibilité du cinquième degré ; les structures algébriques (groupes, anneaux, corps).
Lectures : Roshdi Rashed, Al-Khwārizmī : le commencement de l'algèbre ; Jens Høyrup, Lengths, Widths, Surfaces (sur l'algèbre babylonienne) ; Jacqueline Stedall, From Cardano's Great Art to Lagrange's Reflections ; Victor Katz et Karen Parshall, Taming the Unknown.
Précautions : les écritures de la planche 3 sont des reconstitutions dans l'usage de chaque auteur, non des citations ; les dates anciennes sont approximatives, et la lecture « algébrique » des tablettes babyloniennes reste discutée par les historiens, qui y voient plutôt des manipulations de longueurs et d'aires.